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Theorem ismtycnv 26511
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )

Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5687 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
3 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( `' F `  u )  e.  X
)
43ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( u  e.  Y  ->  ( `' F `  u )  e.  X ) )
5 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( `' F `  v )  e.  X
)
65ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( v  e.  Y  ->  ( `' F `  v )  e.  X ) )
74, 6anim12d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) ) )
98imdistani 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) ) )
10 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
x M y )  =  ( ( `' F `  u ) M y ) )
11 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( `' F `  u ) ) )
1211oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  y
) ) )
1310, 12eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  u )  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) ) ) )
14 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( `' F `  u ) M y )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
15 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  v ) ) )
1615oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  u ) ) N ( F `  ( `' F `  v ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' F `  v )  ->  (
( ( `' F `  u ) M y )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 y ) )  <-> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1813, 17rspc2v 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) ) )
1918impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
2019adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( ( `' F `  u )  e.  X  /\  ( `' F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) ) )
22 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  u ) )  =  u )
2322adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  u )
)  =  u )
24 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  v ) )  =  v )
2524adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  ( F `  ( `' F `  v )
)  =  v )
2623, 25oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2726adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  u ) ) N ( F `
 ( `' F `  v ) ) )  =  ( u N v ) )
2821, 27eqtr2d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
2928ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) )
302, 29jca 519 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( `' F : Y
-1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) )
3130a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
32 isismty 26510 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
33 isismty 26510 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  M  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3433ancoms 440 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( `' F  e.  ( N  Ismty  M )  <->  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( u N v )  =  ( ( `' F `  u ) M ( `' F `  v ) ) ) ) )
3531, 32, 343imtr4d 260 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   `'ccnv 4877   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   * Metcxmt 16686    Ismty cismty 26507
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  26513  ismtyhmeo  26514  ismtybnd  26516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-xr 9124  df-xmet 16695  df-ismty 26508
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