Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtycnv Structured version   Unicode version

Theorem ismtycnv 26511
 Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv

Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5687 . . . . 5
21adantr 452 . . . 4
3 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . . 11
43ex 424 . . . . . . . . . 10
5 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . . 11
65ex 424 . . . . . . . . . 10
74, 6anim12d 547 . . . . . . . . 9
87adantr 452 . . . . . . . 8
98imdistani 672 . . . . . . 7
10 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11
11 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
1211oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
1310, 12eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10
14 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
15 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
1615oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
1714, 16eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10
1813, 17rspc2v 3058 . . . . . . . . 9
1918impcom 420 . . . . . . . 8
2019adantll 695 . . . . . . 7
219, 20syl 16 . . . . . 6
22 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . 9
2322adantrr 698 . . . . . . . 8
24 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . 9
2524adantrl 697 . . . . . . . 8
2623, 25oveq12d 6099 . . . . . . 7
2726adantlr 696 . . . . . 6
2821, 27eqtr2d 2469 . . . . 5
2928ralrimivva 2798 . . . 4
302, 29jca 519 . . 3
3130a1i 11 . 2
32 isismty 26510 . 2
33 isismty 26510 . . 3
3433ancoms 440 . 2
3531, 32, 343imtr4d 260 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  ccnv 4877  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cxmt 16686   cismty 26507 This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  26513  ismtyhmeo  26514  ismtybnd  26516 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-xr 9124  df-xmet 16695  df-ismty 26508
 Copyright terms: Public domain W3C validator