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Theorem ismtyima 26527
Description: The image of a ball under an isometry is another ball. (Contributed by Jeff Madsen, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtyima  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )

Proof of Theorem ismtyima
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5025 . . . . 5  |-  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  C_  ran  F
2 isismty 26525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
32biimp3a 1281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
54simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
6 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X --> Y )
8 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  ran  F  C_  Y )
101, 9syl5ss 3190 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) 
C_  Y )
1110sseld 3179 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  ->  x  e.  Y
) )
12 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
13 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  P  e.  X )
14 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
157, 13, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
16 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  R  e.  RR* )
17 blssm 17968 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1918sseld 3179 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  N
) R )  ->  x  e.  Y )
)
20 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
2120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
22 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  RR* )
23 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  P  e.  X )
24 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
25 f1of 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
265, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  `' F : Y --> X )
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
2826, 27sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
29 elbl2 17950 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P (
ball `  M ) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
3021, 22, 23, 28, 29syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
314simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )
32 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
x M y )  =  ( P M y ) )
33 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( F `  x )  =  ( F `  P ) )
3433oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  y
) ) )
3532, 34eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  P  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) ) ) )
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( P M y )  =  ( P M ( `' F `  x ) ) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  x ) ) )
3837oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( F `  P
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
3936, 38eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4035, 39rspc2v 2890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4140impancom 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4213, 31, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4342imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4428, 43syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4544breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R  <->  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
4630, 45bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
47 f1of1 5471 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
485, 47syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  F : X -1-1-> Y
)
50 blssm 17968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5120, 13, 16, 50syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
53 f1elima 5787 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )  -> 
( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5449, 28, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5512adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
5615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
57 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
585, 57sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
59 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
6058, 59eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  Y )
61 elbl2 17950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( ( F `  P )  e.  Y  /\  ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  Y ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6255, 22, 56, 60, 61syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6346, 54, 623bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6458eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) ) )
6558eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6663, 64, 653bitr3d 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6766ex 423 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  Y  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) ) )
6811, 19, 67pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6968eqrdv 2281 1  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371    Ismty cismty 26522
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  26528  ismtybndlem  26530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-xr 8871  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-ismty 26523
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