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Theorem ismtyima 26503
Description: The image of a ball under an isometry is another ball. (Contributed by Jeff Madsen, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtyima  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )

Proof of Theorem ismtyima
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5208 . . . . 5  |-  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  C_  ran  F
2 isismty 26501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
32biimp3a 1283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
54simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
6 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X --> Y )
8 frn 5589 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  ran  F  C_  Y )
101, 9syl5ss 3351 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) 
C_  Y )
1110sseld 3339 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  ->  x  e.  Y
) )
12 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
13 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  P  e.  X )
14 ffvelrn 5860 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
157, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
16 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  R  e.  RR* )
17 blssm 18440 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) 
C_  Y )
1918sseld 3339 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  N
) R )  ->  x  e.  Y )
)
20 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
22 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  RR* )
23 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  P  e.  X )
24 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
25 f1of 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
265, 24, 253syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  `' F : Y --> X )
27 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
2826, 27sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
29 elbl2 18412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X ) )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P (
ball `  M ) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
3021, 22, 23, 28, 29syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R ) )
314simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )
32 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
x M y )  =  ( P M y ) )
33 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( F `  x )  =  ( F `  P ) )
3433oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
( F `  x
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  y
) ) )
3532, 34eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  P  ->  (
( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) ) ) )
36 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( P M y )  =  ( P M ( `' F `  x ) ) )
37 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  x ) ) )
3837oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( F `  P
) N ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
3936, 38eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  x )  ->  (
( P M y )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  y ) )  <->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4035, 39rspc2v 3050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x
) N ( F `
 y ) )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4140impancom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4213, 31, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( ( `' F `  x )  e.  X  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
4342imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  -> 
( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4428, 43syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P M ( `' F `  x ) )  =  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4544breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P M ( `' F `  x ) )  < 
R  <->  ( ( F `
 P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
4630, 45bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
47 f1of1 5665 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
485, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  F : X -1-1-> Y
)
50 blssm 18440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5120, 13, 16, 50syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
53 f1elima 6001 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( P ( ball `  M ) R ) 
C_  X )  -> 
( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5449, 28, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( `' F `  x )  e.  ( P ( ball `  M ) R ) ) )
5512adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
5615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
57 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
585, 57sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
59 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
6058, 59eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  Y )
61 elbl2 18412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( ( F `  P )  e.  Y  /\  ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  Y ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6255, 22, 56, 60, 61syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  ( ( F `  P ) N ( F `  ( `' F `  x ) ) )  <  R
) )
6346, 54, 623bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6458eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( F
" ( P (
ball `  M ) R ) )  <->  x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) ) ) )
6558eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( F `  ( `' F `  x ) )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R )  <->  x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N ) R ) ) )
6663, 64, 653bitr3d 275 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6766ex 424 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  Y  ->  ( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) ) )
6811, 19, 67pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( x  e.  ( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  N
) R ) ) )
6968eqrdv 2433 1  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( P  e.  X  /\  R  e.  RR* ) )  -> 
( F " ( P ( ball `  M
) R ) )  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  N ) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680    Ismty cismty 26498
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  26504  ismtybndlem  26506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-xr 9116  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-ismty 26499
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