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Theorem ismtyval 26501
Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, M, x, y    f, N, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y

Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 26500 . . 3  |-  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  * Met ,  n  e. 
U. ran  * Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  * Met ,  n  e. 
U. ran  * Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } ) )
3 dmeq 5063 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  dom  m  =  dom  M )
4 xmetf 18352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 fdm 5588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X ) )
73, 6sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  m  =  M )  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
87ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
98dmeqd 5065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  dom  ( X  X.  X ) )
10 dmxpid 5082 . . . . . . 7  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
119, 10syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  X )
12 f1oeq2 5659 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  m  =  X  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
14 dmeq 5063 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  dom  n  =  dom  N )
15 xmetf 18352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
16 fdm 5588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1814, 17sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  n  =  N )  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
1918ad2ant2l 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
2019dmeqd 5065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  dom  ( Y  X.  Y ) )
21 dmxpid 5082 . . . . . . 7  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
2220, 21syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  Y )
23 f1oeq3 5660 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  n  =  Y  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2513, 24bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
26 oveq 6080 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x m y )  =  ( x M y ) )
27 oveq 6080 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( f `  x
) n ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )
2826, 27eqeqan12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <-> 
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
2928adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
x m y )  =  ( ( f `
 x ) n ( f `  y
) )  <->  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3011, 29raleqbidv 2909 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. y  e.  dom  dom  m
( x m y )  =  ( ( f `  x ) n ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3111, 30raleqbidv 2909 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3225, 31anbi12d 692 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) )  <->  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) ) )
3332abbidv 2550 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  { f  |  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) }  =  {
f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } )
34 fvssunirn 5747 . . 3  |-  ( * Met `  X ) 
C_  U. ran  * Met
35 simpl 444 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
3634, 35sseldi 3339 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  M  e.  U. ran  * Met )
37 fvssunirn 5747 . . 3  |-  ( * Met `  Y ) 
C_  U. ran  * Met
38 simpr 448 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
3937, 38sseldi 3339 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  N  e.  U. ran  * Met )
40 f1of 5667 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-onto-> Y  ->  f : X
--> Y )
4140adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )  -> 
f : X --> Y )
42 elfvdm 5750 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  * Met )
43 elfvdm 5750 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
44 elmapg 7024 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  * Met  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4542, 43, 44syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4641, 45syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  ->  f  e.  ( Y  ^m  X ) ) )
4746abssdv 3410 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
48 ovex 6099 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4948ssex 4340 . . 3  |-  ( { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
5047, 49syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 6194 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2698   _Vcvv 2949    C_ wss 3313   U.cuni 4008    X. cxp 4869   dom cdm 4871   ran crn 4872   -->wf 5443   -1-1-onto->wf1o 5446   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    e. cmpt2 6076    ^m cmap 7011   RR*cxr 9112   * Metcxmt 16679    Ismty cismty 26499
This theorem is referenced by:  isismty  26502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-map 7013  df-xr 9117  df-xmet 16688  df-ismty 26500
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