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Theorem ismtyval 26627
Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, M, x, y    f, N, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y

Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 26626 . . 3  |-  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  * Met ,  n  e. 
U. ran  * Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  Ismty  =  ( m  e.  U. ran  * Met ,  n  e. 
U. ran  * Met  |->  { f  |  ( f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) } ) )
3 dmeq 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  dom  m  =  dom  M )
4 xmetf 17910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X ) )
73, 6sylan9eqr 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  m  =  M )  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
87ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  m  =  ( X  X.  X
) )
98dmeqd 4897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  dom  ( X  X.  X ) )
10 dmxpid 4914 . . . . . . 7  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
119, 10syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  m  =  X )
12 f1oeq2 5480 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  m  =  X  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> dom  dom  n ) )
14 dmeq 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  dom  n  =  dom  N )
15 xmetf 17910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR* )
16 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR*  ->  dom 
N  =  ( Y  X.  Y ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  dom  N  =  ( Y  X.  Y ) )
1814, 17sylan9eqr 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  n  =  N )  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
1918ad2ant2l 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  n  =  ( Y  X.  Y
) )
2019dmeqd 4897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  dom  ( Y  X.  Y ) )
21 dmxpid 4914 . . . . . . 7  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
2220, 21syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  dom  dom  n  =  Y )
23 f1oeq3 5481 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  n  =  Y  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : X -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
2513, 24bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  <->  f : X
-1-1-onto-> Y ) )
26 oveq 5880 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x m y )  =  ( x M y ) )
27 oveq 5880 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( f `  x
) n ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )
2826, 27eqeqan12d 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <-> 
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
2928adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
x m y )  =  ( ( f `
 x ) n ( f `  y
) )  <->  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3011, 29raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. y  e.  dom  dom  m
( x m y )  =  ( ( f `  x ) n ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3111, 30raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) )
3225, 31anbi12d 691 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  ( (
f : dom  dom  m
-1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) )  <->  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) ) )
3332abbidv 2410 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  (
m  =  M  /\  n  =  N )
)  ->  { f  |  ( f : dom  dom  m -1-1-onto-> dom  dom  n  /\  A. x  e.  dom  dom  m A. y  e.  dom  dom  m ( x m y )  =  ( ( f `  x
) n ( f `
 y ) ) ) }  =  {
f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } )
34 fvssunirn 5567 . . 3  |-  ( * Met `  X ) 
C_  U. ran  * Met
35 simpl 443 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
3634, 35sseldi 3191 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  M  e.  U. ran  * Met )
37 fvssunirn 5567 . . 3  |-  ( * Met `  Y ) 
C_  U. ran  * Met
38 simpr 447 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
3937, 38sseldi 3191 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  N  e.  U. ran  * Met )
40 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-onto-> Y  ->  f : X
--> Y )
4140adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) )  -> 
f : X --> Y )
42 elfvdm 5570 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  * Met )
43 elfvdm 5570 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
44 elmapg 6801 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  * Met  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4542, 43, 44syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( Y  ^m  X )  <->  f : X
--> Y ) )
4641, 45syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  ->  f  e.  ( Y  ^m  X ) ) )
4746abssdv 3260 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X ) )
48 ovex 5899 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4948ssex 4174 . . 3  |-  ( { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  C_  ( Y  ^m  X )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
5047, 49syl 15 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  e.  _V )
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 5991 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   RR*cxr 8882   * Metcxmt 16385    Ismty cismty 26625
This theorem is referenced by:  isismty  26628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-xr 8887  df-xmet 16389  df-ismty 26626
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