Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyval Structured version   Unicode version

Theorem ismtyval 26501
 Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 26500 . . 3
21a1i 11 . 2
3 dmeq 5063 . . . . . . . . . 10
4 xmetf 18352 . . . . . . . . . . 11
5 fdm 5588 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
73, 6sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9
87ad2ant2r 728 . . . . . . . 8
98dmeqd 5065 . . . . . . 7
10 dmxpid 5082 . . . . . . 7
119, 10syl6eq 2484 . . . . . 6
12 f1oeq2 5659 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 dmeq 5063 . . . . . . . . . 10
15 xmetf 18352 . . . . . . . . . . 11
16 fdm 5588 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
1814, 17sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9
1918ad2ant2l 727 . . . . . . . 8
2019dmeqd 5065 . . . . . . 7
21 dmxpid 5082 . . . . . . 7
2220, 21syl6eq 2484 . . . . . 6
23 f1oeq3 5660 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
2513, 24bitrd 245 . . . 4
26 oveq 6080 . . . . . . . 8
27 oveq 6080 . . . . . . . 8
2826, 27eqeqan12d 2451 . . . . . . 7
2928adantl 453 . . . . . 6
3011, 29raleqbidv 2909 . . . . 5
3111, 30raleqbidv 2909 . . . 4
3225, 31anbi12d 692 . . 3
3332abbidv 2550 . 2
34 fvssunirn 5747 . . 3
35 simpl 444 . . 3
3634, 35sseldi 3339 . 2
37 fvssunirn 5747 . . 3
38 simpr 448 . . 3
3937, 38sseldi 3339 . 2
40 f1of 5667 . . . . . 6
4140adantr 452 . . . . 5
42 elfvdm 5750 . . . . . 6
43 elfvdm 5750 . . . . . 6
44 elmapg 7024 . . . . . 6
4542, 43, 44syl2anr 465 . . . . 5
4641, 45syl5ibr 213 . . . 4
4746abssdv 3410 . . 3
48 ovex 6099 . . . 4
4948ssex 4340 . . 3
5047, 49syl 16 . 2
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 6194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2698  cvv 2949   wss 3313  cuni 4008   cxp 4869   cdm 4871   crn 4872  wf 5443  wf1o 5446  cfv 5447  (class class class)co 6074   cmpt2 6076   cmap 7011  cxr 9112  cxmt 16679   cismty 26499 This theorem is referenced by:  isismty  26502 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-map 7013  df-xr 9117  df-xmet 16688  df-ismty 26500
 Copyright terms: Public domain W3C validator