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Theorem isnat 14149
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1  |-  N  =  ( C Nat  D )
natfval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
natfval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
natfval.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
natfval.o  |-  .x.  =  (comp `  D )
isnat.f  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
isnat.g  |-  ( ph  ->  K ( C  Func  D ) L )
Assertion
Ref Expression
isnat  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
( A  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, h, y, A    x, B, y    C, h, x, y    h, F, x, y    h, G, x, y    h, H    ph, h, x, y    h, K, x, y    h, L, x, y    D, h, x, y
Allowed substitution hints:    B( h)    .x. ( x, y, h)    H( x, y)    J( x, y, h)    N( x, y, h)

Proof of Theorem isnat
Dummy variables  a 
f  g  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natfval.1 . . . . . 6  |-  N  =  ( C Nat  D )
2 natfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 natfval.h . . . . . 6  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
4 natfval.j . . . . . 6  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
5 natfval.o . . . . . 6  |-  .x.  =  (comp `  D )
61, 2, 3, 4, 5natfval 14148 . . . . 5  |-  N  =  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
8 fvex 5745 . . . . . 6  |-  ( 1st `  f )  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st `  f )  e.  _V )
10 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  f  =  <. F ,  G >. )
1110fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st `  f )  =  ( 1st `  <. F ,  G >. ) )
12 relfunc 14064 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( C  Func  D )
13 isnat.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
14 brrelex12 4918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
1512, 13, 14sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
16 op1stg 6362 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( 1st `  <. F ,  G >. )  =  F )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. F ,  G >. )  =  F )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st ` 
<. F ,  G >. )  =  F )
1911, 18eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st `  f )  =  F )
20 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  g )  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  g )  e. 
_V )
22 simplrr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  g  =  <. K ,  L >. )
2322fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  g )  =  ( 1st `  <. K ,  L >. )
)
24 isnat.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K ( C  Func  D ) L )
25 brrelex12 4918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  K ( C  Func  D ) L )  ->  ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V ) )
2612, 24, 25sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V )
)
27 op1stg 6362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V )  ->  ( 1st `  <. K ,  L >. )  =  K )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. K ,  L >. )  =  K )
2928ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  <. K ,  L >. )  =  K )
3023, 29eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  g )  =  K )
31 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  r  =  F )
3231fveq1d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
r `  x )  =  ( F `  x ) )
33 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  s  =  K )
3433fveq1d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
s `  x )  =  ( K `  x ) )
3532, 34oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) J ( K `  x
) ) )
3635ixpeq2dv 7081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  X_ x  e.  B  ( (
r `  x ) J ( s `  x ) )  = 
X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) ) )
3731fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
r `  y )  =  ( F `  y ) )
3832, 37opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  <. (
r `  x ) ,  ( r `  y ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. )
3933fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
s `  y )  =  ( K `  y ) )
4038, 39oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( <. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) )
41 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
a `  y )  =  ( a `  y ) )
4210ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  f  =  <. F ,  G >. )
4342fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  f )  =  ( 2nd `  <. F ,  G >. )
)
44 op2ndg 6363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( 2nd `  <. F ,  G >. )  =  G )
4515, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. F ,  G >. )  =  G )
4645ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  <. F ,  G >. )  =  G )
4743, 46eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  f )  =  G )
4847oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
x ( 2nd `  f
) y )  =  ( x G y ) )
4948fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( x ( 2nd `  f ) y ) `
 h )  =  ( ( x G y ) `  h
) )
5040, 41, 49oveq123d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( a `  y
) ( <. (
r `  x ) ,  ( r `  y ) >.  .x.  (
s `  y )
) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) ) )
5132, 34opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  <. (
r `  x ) ,  ( s `  x ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( K `  x ) >. )
5251, 39oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( <. ( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) )
5322adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  g  =  <. K ,  L >. )
5453fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  g )  =  ( 2nd `  <. K ,  L >. )
)
55 op2ndg 6363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V )  ->  ( 2nd `  <. K ,  L >. )  =  L )
5626, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. K ,  L >. )  =  L )
5756ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  <. K ,  L >. )  =  L )
5854, 57eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  g )  =  L )
5958oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
x ( 2nd `  g
) y )  =  ( x L y ) )
6059fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( x ( 2nd `  g ) y ) `
 h )  =  ( ( x L y ) `  h
) )
61 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
a `  x )  =  ( a `  x ) )
6252, 60, 61oveq123d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( ( x ( 2nd `  g ) y ) `  h
) ( <. (
r `  x ) ,  ( s `  x ) >.  .x.  (
s `  y )
) ( a `  x ) )  =  ( ( ( x L y ) `  h ) ( <.
( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) )
6350, 62eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <-> 
( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
6463ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
65642ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
6636, 65rabeqbidv 2953 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
6721, 30, 66csbied2 3296 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
689, 19, 67csbied2 3296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
69 df-br 4216 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
7013, 69sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
71 df-br 4216 . . . . 5  |-  ( K ( C  Func  D
) L  <->  <. K ,  L >.  e.  ( C 
Func  D ) )
7224, 71sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( C  Func  D
) )
73 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V
7473rgenw 2775 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V
75 ixpexg 7089 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  e.  _V  ->  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . 6  |-  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V
7776rabex 4357 . . . . 5  |-  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  _V
7877a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { a  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  _V )
797, 68, 70, 72, 78ovmpt2d 6204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. N <. K ,  L >. )  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
8079eleq2d 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
A  e.  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
81 fveq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a `  y )  =  ( A `  y ) )
8281oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( a `  y
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( ( x G y ) `  h ) )  =  ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) ) )
83 fveq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a `  x )  =  ( A `  x ) )
8483oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( x L y ) `  h
) ( <. ( F `  x ) ,  ( K `  x ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( a `  x ) )  =  ( ( ( x L y ) `  h ) ( <.
( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) )
8582, 84eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) )  <-> 
( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
8685ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. h  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
87862ralbidv 2749 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
8887elrab 3094 . 2  |-  ( A  e.  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  <->  ( A  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
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 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
8980, 88syl6bb 254 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
( A  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
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 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
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 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958   [_csb 3253   <.cop 3819   class class class wbr 4215   Rel wrel 4886   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351   X_cixp 7066   Basecbs 13474    Hom chom 13545  compcco 13546    Func cfunc 14056   Nat cnat 14143
This theorem is referenced by:  isnat2  14150  natixp  14154  nati  14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-ixp 7067  df-func 14060  df-nat 14145
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