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Theorem isnat 13821
Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1  |-  N  =  ( C Nat  D )
natfval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
natfval.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
natfval.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
natfval.o  |-  .x.  =  (comp `  D )
isnat.f  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
isnat.g  |-  ( ph  ->  K ( C  Func  D ) L )
Assertion
Ref Expression
isnat  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
( A  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, h, y, A    x, B, y    C, h, x, y    h, F, x, y    h, G, x, y    h, H    ph, h, x, y    h, K, x, y    h, L, x, y    D, h, x, y
Allowed substitution hints:    B( h)    .x. ( x, y, h)    H( x, y)    J( x, y, h)    N( x, y, h)

Proof of Theorem isnat
Dummy variables  a 
f  g  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natfval.1 . . . . . 6  |-  N  =  ( C Nat  D )
2 natfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 natfval.h . . . . . 6  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
4 natfval.j . . . . . 6  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
5 natfval.o . . . . . 6  |-  .x.  =  (comp `  D )
61, 2, 3, 4, 5natfval 13820 . . . . 5  |-  N  =  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
76a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
8 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( 1st `  f )  e.  _V
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st `  f )  e.  _V )
10 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  f  =  <. F ,  G >. )
1110fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st `  f )  =  ( 1st `  <. F ,  G >. ) )
12 relfunc 13736 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( C  Func  D )
13 isnat.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
14 brrelex12 4726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
16 op1stg 6132 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( 1st `  <. F ,  G >. )  =  F )
1715, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. F ,  G >. )  =  F )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st ` 
<. F ,  G >. )  =  F )
1911, 18eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  ( 1st `  f )  =  F )
20 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  g )  e.  _V
2120a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  g )  e. 
_V )
22 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  g  =  <. K ,  L >. )
2322fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  g )  =  ( 1st `  <. K ,  L >. )
)
24 isnat.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K ( C  Func  D ) L )
25 brrelex12 4726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  K ( C  Func  D ) L )  ->  ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V ) )
2612, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V )
)
27 op1stg 6132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V )  ->  ( 1st `  <. K ,  L >. )  =  K )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. K ,  L >. )  =  K )
2928ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  <. K ,  L >. )  =  K )
3023, 29eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  ( 1st `  g )  =  K )
31 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  r  =  F )
3231fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
r `  x )  =  ( F `  x ) )
33 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  s  =  K )
3433fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
s `  x )  =  ( K `  x ) )
3532, 34oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) J ( K `  x
) ) )
3635ixpeq2dv 6832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  X_ x  e.  B  ( (
r `  x ) J ( s `  x ) )  = 
X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) ) )
3731fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
r `  y )  =  ( F `  y ) )
3832, 37opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  <. (
r `  x ) ,  ( r `  y ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. )
3933fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
s `  y )  =  ( K `  y ) )
4038, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( <. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) )
41 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
a `  y )  =  ( a `  y ) )
4210ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  f  =  <. F ,  G >. )
4342fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  f )  =  ( 2nd `  <. F ,  G >. )
)
44 op2ndg 6133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( 2nd `  <. F ,  G >. )  =  G )
4515, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. F ,  G >. )  =  G )
4645ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  <. F ,  G >. )  =  G )
4743, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  f )  =  G )
4847oveqd 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
x ( 2nd `  f
) y )  =  ( x G y ) )
4948fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( x ( 2nd `  f ) y ) `
 h )  =  ( ( x G y ) `  h
) )
5040, 41, 49oveq123d 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( a `  y
) ( <. (
r `  x ) ,  ( r `  y ) >.  .x.  (
s `  y )
) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) ) )
5132, 34opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  <. (
r `  x ) ,  ( s `  x ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( K `  x ) >. )
5251, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( <. ( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) )
5322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  g  =  <. K ,  L >. )
5453fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  g )  =  ( 2nd `  <. K ,  L >. )
)
55 op2ndg 6133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  _V  /\  L  e.  _V )  ->  ( 2nd `  <. K ,  L >. )  =  L )
5626, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. K ,  L >. )  =  L )
5756ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  <. K ,  L >. )  =  L )
5854, 57eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( 2nd `  g )  =  L )
5958oveqd 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
x ( 2nd `  g
) y )  =  ( x L y ) )
6059fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( x ( 2nd `  g ) y ) `
 h )  =  ( ( x L y ) `  h
) )
61 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
a `  x )  =  ( a `  x ) )
6252, 60, 61oveq123d 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( ( x ( 2nd `  g ) y ) `  h
) ( <. (
r `  x ) ,  ( s `  x ) >.  .x.  (
s `  y )
) ( a `  x ) )  =  ( ( ( x L y ) `  h ) ( <.
( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) )
6350, 62eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  (
( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <-> 
( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
6463ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
65642ralbidv 2585 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
6636, 65rabeqbidv 2783 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  /\  s  =  K )  ->  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
6721, 30, 66csbied2 3124 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. ) )  /\  r  =  F )  ->  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
689, 19, 67csbied2 3124 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  =  <. F ,  G >.  /\  g  =  <. K ,  L >. )
)  ->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
69 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
7013, 69sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
71 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( K ( C  Func  D
) L  <->  <. K ,  L >.  e.  ( C 
Func  D ) )
7224, 71sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( C  Func  D
) )
73 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V
7473rgenw 2610 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V
75 ixpexg 6840 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  e.  _V  ->  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V )
7674, 75ax-mp 8 . . . . . 6  |-  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  e. 
_V
7776rabex 4165 . . . . 5  |-  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  _V
7877a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { a  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  e.  _V )
797, 68, 70, 72, 78ovmpt2d 5975 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >. N <. K ,  L >. )  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
8079eleq2d 2350 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
A  e.  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
81 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a `  y )  =  ( A `  y ) )
8281oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( a `  y
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( ( x G y ) `  h ) )  =  ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) ) )
83 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a `  x )  =  ( A `  x ) )
8483oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( x L y ) `  h
) ( <. ( F `  x ) ,  ( K `  x ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( a `  x ) )  =  ( ( ( x L y ) `  h ) ( <.
( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) )
8582, 84eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) )  <-> 
( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
8685ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. h  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
87862ralbidv 2585 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
8887elrab 2923 . 2  |-  ( A  e.  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  <->  ( A  e.  X_ x  e.  B  ( ( F `  x ) J ( K `  x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
8980, 88syl6bb 252 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
( A  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) J ( K `
 x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
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 h ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 h ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
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 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   [_csb 3081   <.cop 3643   class class class wbr 4023   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   X_cixp 6817   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220    Func cfunc 13728   Nat cnat 13815
This theorem is referenced by:  isnat2  13822  natixp  13826  nati  13829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-ixp 6818  df-func 13732  df-nat 13817
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