Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnat2 Structured version   Unicode version

Theorem isnat2 14145
 Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1 Nat
natfval.b
natfval.h
natfval.j
natfval.o comp
isnat2.f
isnat2.g
Assertion
Ref Expression
isnat2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem isnat2
StepHypRef Expression
1 relfunc 14059 . . . . 5
2 isnat2.f . . . . 5
3 1st2nd 6393 . . . . 5
41, 2, 3sylancr 645 . . . 4
5 isnat2.g . . . . 5
6 1st2nd 6393 . . . . 5
71, 5, 6sylancr 645 . . . 4
84, 7oveq12d 6099 . . 3
98eleq2d 2503 . 2
10 natfval.1 . . 3 Nat
11 natfval.b . . 3
12 natfval.h . . 3
13 natfval.j . . 3
14 natfval.o . . 3 comp
15 1st2ndbr 6396 . . . 4
161, 2, 15sylancr 645 . . 3
17 1st2ndbr 6396 . . . 4
181, 5, 17sylancr 645 . . 3
1910, 11, 12, 13, 14, 16, 18isnat 14144 . 2
209, 19bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cop 3817   class class class wbr 4212   wrel 4883  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cixp 7063  cbs 13469   chom 13540  compcco 13541   cfunc 14051   Nat cnat 14138 This theorem is referenced by:  fuccocl  14161  fucidcl  14162  invfuc  14171  curf2cl  14328  yonedalem4c  14374  yonedalem3  14377 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-ixp 7064  df-func 14055  df-nat 14140
 Copyright terms: Public domain W3C validator