Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnghm Structured version   Unicode version

Theorem isnghm 18749
 Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1
Assertion
Ref Expression
isnghm NGHom NrmGrp NrmGrp

Proof of Theorem isnghm
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4
21nghmfval 18748 . . 3 NGHom
32eleq2i 2499 . 2 NGHom
4 n0i 3625 . . . 4
5 nmoffn 18737 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp NrmGrp
6 fndm 5536 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp NrmGrp NrmGrp NrmGrp
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp
87ndmov 6223 . . . . . . . . 9 NrmGrp NrmGrp
91, 8syl5eq 2479 . . . . . . . 8 NrmGrp NrmGrp
109cnveqd 5040 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
11 cnv0 5267 . . . . . . 7
1210, 11syl6eq 2483 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
1312imaeq1d 5194 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
14 0ima 5214 . . . . 5
1513, 14syl6eq 2483 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
164, 15nsyl2 121 . . 3 NrmGrp NrmGrp
171nmof 18745 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
18 ffn 5583 . . . 4
19 elpreima 5842 . . . 4
2017, 18, 193syl 19 . . 3 NrmGrp NrmGrp
2116, 20biadan2 624 . 2 NrmGrp NrmGrp
223, 21bitri 241 1 NGHom NrmGrp NrmGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  c0 3620   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cxr 9111   cghm 14995  NrmGrpcngp 18617  cnmo 18731   NGHom cnghm 18732 This theorem is referenced by:  isnghm2  18750  nghmcl  18753  nmoi  18754  nghmrcl1  18758  nghmrcl2  18759  nghmghm  18760  isnmhm2  18778 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-ico 10914  df-nmo 18734  df-nghm 18735
 Copyright terms: Public domain W3C validator