MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Unicode version

Theorem isngp3 18647
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
isngp.z  |-  .-  =  ( -g `  G )
isngp.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
isngp2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x,  .- , y    x, N, y   
x, X, y

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 isngp.z . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
3 isngp.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  G
)
4 isngp2.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2438 . . 3  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) )
61, 2, 3, 4, 5isngp2 18646 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
74, 3msmet2 18492 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
81, 4, 3, 5nmf2 18642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )  ->  N : X --> RR )
97, 8sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  ->  N : X --> RR )
104, 2grpsubf 14870 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
1110adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
12 fco 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( N : X --> RR  /\  .-  : ( X  X.  X ) --> X )  ->  ( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
139, 11, 12syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
14 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( N  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR  ->  ( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X ) )
167adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
) )
17 metf 18362 . . . . . . 7  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
18 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) ) : ( X  X.  X
) --> RR  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X
) )
1916, 17, 183syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X ) )
20 eqfnov2 6179 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  o.  .-  )  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  Fn  ( X  X.  X
) )  ->  (
( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( N  o.  .-  ) y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y ) ) )
2115, 19, 20syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
( N  o.  .-  ) y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y ) ) )
22 opelxpi 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  X
) )
23 fvco3 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. x ,  y
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )  =  ( N `  (  .-  `  <. x ,  y >. )
) )
2411, 22, 23syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. x ,  y >.
) ) )
25 df-ov 6086 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( N  o.  .-  ) y )  =  ( ( N  o.  .-  ) `  <. x ,  y >. )
26 df-ov 6086 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
.-  y )  =  (  .-  `  <. x ,  y >. )
2726fveq2i 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (  .-  `  <. x ,  y
>. ) )
2824, 25, 273eqtr4g 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( N  o.  .-  ) y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) )
29 ovres 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  =  ( x D y ) )
3029adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  =  ( x D y ) )
3128, 30eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( N  o.  .-  ) y
)  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X ) ) y )  <->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( x D y ) ) )
32 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( x 
.-  y ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) )
3331, 32syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( N  o.  .-  ) y
)  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X ) ) y )  <->  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) ) )
34332ralbidva 2747 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x ( N  o.  .-  )
y )  =  ( x ( D  |`  ( X  X.  X
) ) y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `
 ( x  .-  y ) ) ) )
3521, 34bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `  (
x  .-  y )
) ) )
3635pm5.32i 620 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
37 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
38 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
3936, 37, 383bitr4i 270 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( N `
 ( x  .-  y ) ) ) )
406, 39bitri 242 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( N `  ( x  .-  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   <.cop 3819    X. cxp 4878    |` cres 4882    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   Basecbs 13471   distcds 13540   Grpcgrp 14687   -gcsg 14690   Metcme 16689   MetSpcmt 18350   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627
This theorem is referenced by:  isngp4  18660  subgngp  18678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633
  Copyright terms: Public domain W3C validator