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Theorem isngp4 18133
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ngprcan.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp4  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    z,  .+    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18121 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
2 ngpms 18122 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
3 ngprcan.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 ngprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 ngprcan.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
63, 4, 5ngprcan 18131 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
76ralrimivvva 2636 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
81, 2, 73jca 1132 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
9 simp1 955 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  Grp )
10 simp2 956 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  MetSp )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
123, 11grpinvcl 14527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
1312ad2ant2rl 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
14 eqcom 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) ) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
16 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
1715, 16oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) )
1817eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( x D y )  =  ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) ) )
1914, 18syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) ) )
2019rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  -> 
( A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) ) ) )
2113, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
233, 4, 11, 22grpsubval 14525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  =  ( x  .+  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  =  ( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) )
2524eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( x (
-g `  G )
y ) )
26 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
273, 4, 26, 11grprinv 14529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
2827ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y  .+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
2925, 28oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) )  =  ( ( x ( -g `  G ) y ) D ( 0g `  G ) ) )
303, 22grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  e.  X )
31303expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
3231adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
3433, 3, 26, 5nmval 18112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e.  X  ->  ( ( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3629, 35eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) )
3736eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )  <->  ( x D y )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) ) )
3821, 37sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
3938anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4039ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4140ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
42413impia 1148 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) )
4333, 22, 5, 3isngp3 18120 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( ( norm `  G ) `  (
x ( -g `  G
) y ) ) ) )
449, 10, 42, 43syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e. NrmGrp )
458, 44impbii 180 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   distcds 13217   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106
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