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Theorem isngp4 18149
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ngprcan.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
isngp4  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    z,  .+    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18137 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
2 ngpms 18138 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
3 ngprcan.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 ngprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 ngprcan.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
63, 4, 5ngprcan 18147 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
76ralrimivvva 2649 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) )
81, 2, 73jca 1132 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
9 simp1 955 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  Grp )
10 simp2 956 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e.  MetSp )
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
123, 11grpinvcl 14543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
1312ad2ant2rl 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
14 eqcom 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y )  <->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) ) )
15 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
16 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
1715, 16oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) )
1817eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( x D y )  =  ( ( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) ) )
1914, 18syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  <-> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) ) )
2019rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  -> 
( A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  ( x D y )  =  ( ( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) ) ) )
2113, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ) ) )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
233, 4, 11, 22grpsubval 14541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  =  ( x  .+  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  =  ( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) )
2524eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( x (
-g `  G )
y ) )
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
273, 4, 26, 11grprinv 14545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( 0g `  G ) )
2827ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y  .+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
2925, 28oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) )  =  ( ( x ( -g `  G ) y ) D ( 0g `  G ) ) )
303, 22grpsubcl 14562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) y )  e.  X )
31303expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
3231adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( -g `  G
) y )  e.  X )
33 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
3433, 3, 26, 5nmval 18128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e.  X  ->  ( ( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) y ) D ( 0g `  G
) ) )
3629, 35eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  .+  (
( inv g `  G ) `  y
) ) D ( y  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) )
3736eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x D y )  =  ( ( x  .+  ( ( inv g `  G
) `  y )
) D ( y 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )  <->  ( x D y )  =  ( ( norm `  G
) `  ( x
( -g `  G ) y ) ) ) )
3821, 37sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
3938anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  MetSp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x  .+  z ) D ( y  .+  z ) )  =  ( x D y )  -> 
( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4039ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
4140ralimdva 2634 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x 
.+  z ) D ( y  .+  z
) )  =  ( x D y )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) ) )
42413impia 1148 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( (
norm `  G ) `  ( x ( -g `  G ) y ) ) )
4333, 22, 5, 3isngp3 18136 . . 3  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x D y )  =  ( ( norm `  G ) `  (
x ( -g `  G
) y ) ) ) )
449, 10, 42, 43syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) )  ->  G  e. NrmGrp )
458, 44impbii 180 1  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
) D ( y 
.+  z ) )  =  ( x D y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   distcds 13233   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122
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