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Theorem isnirred 15482
Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irred.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
irred.2  |-  U  =  (Unit `  R )
irred.3  |-  I  =  (Irred `  R )
irred.4  |-  N  =  ( B  \  U
)
irred.5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isnirred  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, N    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .x. ( x, y)    U( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isnirred
StepHypRef Expression
1 irred.4 . . . . . . 7  |-  N  =  ( B  \  U
)
21eleq2i 2347 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  <->  X  e.  ( B  \  U ) )
3 eldif 3162 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
42, 3bitri 240 . . . . 5  |-  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
54baibr 872 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  U  <->  X  e.  N ) )
6 df-ne 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
76ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. y  e.  N  -.  ( x  .x.  y
)  =  X )
8 ralnex 2553 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  N  -.  ( x  .x.  y )  =  X  <->  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
97, 8bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
109ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  N  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
11 ralnex 2553 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  N  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
1210, 11bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
)
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
145, 13anbi12d 691 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  (
( -.  X  e.  U  /\  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X )  <->  ( X  e.  N  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) ) )
15 ioran 476 . . 3  |-  ( -.  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )  <->  ( -.  X  e.  U  /\  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X ) )
16 irred.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
17 irred.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
18 irred.3 . . . 4  |-  I  =  (Irred `  R )
19 irred.5 . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2016, 17, 18, 1, 19isirred 15481 . . 3  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  N  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
2114, 15, 203bitr4g 279 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )  <->  X  e.  I ) )
2221con1bid 320 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Unitcui 15421  Irredcir 15422
This theorem is referenced by:  irredn0  15485  irredrmul  15489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-irred 15425
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