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Theorem isnirred 15805
Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irred.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
irred.2  |-  U  =  (Unit `  R )
irred.3  |-  I  =  (Irred `  R )
irred.4  |-  N  =  ( B  \  U
)
irred.5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isnirred  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, N    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .x. ( x, y)    U( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isnirred
StepHypRef Expression
1 irred.4 . . . . . . 7  |-  N  =  ( B  \  U
)
21eleq2i 2500 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  <->  X  e.  ( B  \  U ) )
3 eldif 3330 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
42, 3bitri 241 . . . . 5  |-  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
54baibr 873 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  U  <->  X  e.  N ) )
6 df-ne 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
76ralbii 2729 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. y  e.  N  -.  ( x  .x.  y
)  =  X )
8 ralnex 2715 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  N  -.  ( x  .x.  y )  =  X  <->  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
97, 8bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
109ralbii 2729 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  N  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
11 ralnex 2715 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  N  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
1210, 11bitr2i 242 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
)
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
145, 13anbi12d 692 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  (
( -.  X  e.  U  /\  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X )  <->  ( X  e.  N  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) ) )
15 ioran 477 . . 3  |-  ( -.  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )  <->  ( -.  X  e.  U  /\  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X ) )
16 irred.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
17 irred.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
18 irred.3 . . . 4  |-  I  =  (Irred `  R )
19 irred.5 . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2016, 17, 18, 1, 19isirred 15804 . . 3  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  N  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
2114, 15, 203bitr4g 280 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )  <->  X  e.  I ) )
2221con1bid 321 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   .rcmulr 13530  Unitcui 15744  Irredcir 15745
This theorem is referenced by:  irredn0  15808  irredrmul  15812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-irred 15748
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