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Theorem isnirred 15531
Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irred.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
irred.2  |-  U  =  (Unit `  R )
irred.3  |-  I  =  (Irred `  R )
irred.4  |-  N  =  ( B  \  U
)
irred.5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isnirred  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, N    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .x. ( x, y)    U( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isnirred
StepHypRef Expression
1 irred.4 . . . . . . 7  |-  N  =  ( B  \  U
)
21eleq2i 2380 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  <->  X  e.  ( B  \  U ) )
3 eldif 3196 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
42, 3bitri 240 . . . . 5  |-  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
54baibr 872 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  U  <->  X  e.  N ) )
6 df-ne 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
76ralbii 2601 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. y  e.  N  -.  ( x  .x.  y
)  =  X )
8 ralnex 2587 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  N  -.  ( x  .x.  y )  =  X  <->  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
97, 8bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
109ralbii 2601 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  N  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
11 ralnex 2587 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  N  -.  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )
1210, 11bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
)
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
145, 13anbi12d 691 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  (
( -.  X  e.  U  /\  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X )  <->  ( X  e.  N  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) ) )
15 ioran 476 . . 3  |-  ( -.  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )  <->  ( -.  X  e.  U  /\  -.  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X ) )
16 irred.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
17 irred.2 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
18 irred.3 . . . 4  |-  I  =  (Irred `  R )
19 irred.5 . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2016, 17, 18, 1, 19isirred 15530 . . 3  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  N  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
2114, 15, 203bitr4g 279 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  ( x  .x.  y )  =  X )  <->  X  e.  I ) )
2221con1bid 320 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  N  E. y  e.  N  (
x  .x.  y )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    \ cdif 3183   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   .rcmulr 13256  Unitcui 15470  Irredcir 15471
This theorem is referenced by:  irredn0  15534  irredrmul  15538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-ov 5903  df-irred 15474
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