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Theorem isnrm2 17380
Description: An alternate characterization of normality. This is the important property in the proof of Urysohn's lemma. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable group:    c, d, o, J

Proof of Theorem isnrm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17358 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep2 17378 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )
323exp2 1171 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) ) ) ) )
43imp3a 421 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2761 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
61, 5jca 519 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 444 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
98opncld 17056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
109adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
11 ineq2 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
c  i^i  d )  =  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1211eqeq1d 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
13 ineq2 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1413eqeq1d 2416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
1514anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1615rexbidv 2691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  ( E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1712, 16imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1817rspcv 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1910, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
20 inssdif0 3659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  i^i  U. J
)  C_  x  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
218cldss 17052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  c  C_  U. J )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  c  C_  U. J )
23 df-ss 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c 
C_  U. J  <->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2422, 23sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2524sseq1d 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  c  C_  x ) )
2620, 25syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  c  C_  x
) )
27 inssdif0 3659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  C_  x 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
28 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  J  e.  Top )
29 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
308clsss3 17082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  U. J )
3128, 29, 30syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J )
32 df-ss 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J  <->  ( (
( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3331, 32sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3433sseq1d 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  o )  C_  x
) )
3527, 34syl5bbr 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
)
3635anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3736rexbidva 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( E. o  e.  J  (
c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3826, 37imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )  <->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
3919, 38sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
4039ralimdva 2748 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J ) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
41 elin 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  e.  ~P x ) )
42 vex 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
4342elpw 3769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P x  <->  c  C_  x )
4443anbi2i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  e.  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4541, 44bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4645imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
47 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4846, 47bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4948ralbii2 2698 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i 
~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x )  <->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
5040, 49syl6ibr 219 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
5150ralrimdva 2760 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
5251imp 419 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )
53 isnrm 17357 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
547, 52, 53sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
556, 54impbii 181 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    \ cdif 3281    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   U.cuni 3979   ` cfv 5417   Topctop 16917   Clsdccld 17039   clsccl 17041   Nrmcnrm 17332
This theorem is referenced by:  isnrm3  17381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-top 16922  df-cld 17042  df-cls 17044  df-nrm 17339
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