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Theorem isnrm2 17086
Description: An alternate characterization of normality. This is the important property in the proof of Urysohn's lemma. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable group:    c, d, o, J

Proof of Theorem isnrm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17064 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep2 17084 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )
323exp2 1169 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) ) ) ) )
43imp3a 420 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
61, 5jca 518 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 443 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
98opncld 16770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
109adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
11 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
c  i^i  d )  =  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1211eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
13 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
1413eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )
1514anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1615rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  ( E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) )
1712, 16imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1817rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
1910, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) ) ) )
20 inssdif0 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  i^i  U. J
)  C_  x  <->  ( c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
218cldss 16766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  c  C_  U. J )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  c  C_  U. J )
23 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c 
C_  U. J  <->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2422, 23sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( c  i^i  U. J )  =  c )
2524sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  c  C_  x ) )
2620, 25syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
c  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  c  C_  x
) )
27 inssdif0 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  C_  x 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )
28 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  J  e.  Top )
29 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
308clsss3 16796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  U. J )
3128, 29, 30syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J )
32 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  o )  C_ 
U. J  <->  ( (
( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3331, 32sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( cls `  J
) `  o )  i^i  U. J )  =  ( ( cls `  J
) `  o )
)
3433sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  U. J ) 
C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  o )  C_  x
) )
3527, 34syl5bbr 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)  <->  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
)
3635anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  o  e.  J )  ->  (
( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3736rexbidva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( E. o  e.  J  (
c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
3826, 37imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( (
( c  i^i  ( U. J  \  x
) )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/) ) )  <->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
3919, 38sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  c  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  (
c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
4039ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J ) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) ) )
41 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  e.  ~P x ) )
42 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
4342elpw 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P x  <->  c  C_  x )
4443anbi2i 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  e.  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4541, 44bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i  ~P x )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  /\  c  C_  x ) )
4645imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) )
47 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  c  C_  x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4846, 47bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( (
Clsd `  J )  i^i  ~P x )  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )  <->  ( c  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `
 o )  C_  x ) ) ) )
4948ralbii2 2571 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ( ( Clsd `  J )  i^i 
~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x )  <->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) ( c  C_  x  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
5040, 49syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) ) )
5150ralrimdva 2633 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J
) `  o )  i^i  d )  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
5251imp 418 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  A. x  e.  J  A. c  e.  (
( Clsd `  J )  i^i  ~P x ) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J
) `  o )  C_  x ) )
53 isnrm 17063 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. c  e.  ( ( Clsd `  J
)  i^i  ~P x
) E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( cls `  J ) `  o
)  C_  x )
) )
547, 52, 53sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
556, 54impbii 180 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. o  e.  J  ( c  C_  o  /\  ( ( ( cls `  J ) `  o
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Nrmcnrm 17038
This theorem is referenced by:  isnrm3  17087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758  df-nrm 17045
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