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Theorem isnrm3 17087
Description: A topological space is normal iff any two disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    c, d, x, y, J

Proof of Theorem isnrm3
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17064 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep 17085 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
323exp2 1169 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
43imp3a 420 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
61, 5jca 518 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 443 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 simpr1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
c  C_  x )
9 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
d  C_  y )
10 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d 
C_  y  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )
)
12 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Top )
13 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
y  e.  J )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
1514opncld 16770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1612, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
17 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
18 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
19 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
20 reldisj 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. J  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \  y
) ) )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \ 
y ) ) )
2217, 21mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  C_  ( U. J  \  y ) )
2314clsss2 16809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  C_  ( U. J  \  y ) )
24 ssdifin0 3535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  C_  ( U. J  \ 
y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y )  =  (/) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i  y )  =  (/) )
2616, 22, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )
27 sseq0 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  =  (/) )
2811, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) )
298, 28jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) )
3029ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3130rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3231reximdva 2655 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3332imim2d 48 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3433ralimdv 2622 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3534ralimdv 2622 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3635imp 418 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
37 isnrm2 17086 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
387, 36, 37sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
396, 38impbii 180 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Nrmcnrm 17038
This theorem is referenced by:  metnrm  18366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758  df-nrm 17045
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