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Theorem isnrm3 17424
Description: A topological space is normal iff any two disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    c, d, x, y, J

Proof of Theorem isnrm3
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17401 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep 17422 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
323exp2 1172 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
43imp3a 422 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2798 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
61, 5jca 520 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 445 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 simpr1 964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
c  C_  x )
9 simpr2 965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
d  C_  y )
10 sslin 3568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d 
C_  y  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )
)
12 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Top )
13 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
y  e.  J )
14 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
1514opncld 17098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1612, 13, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
17 simpr3 966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
18 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
19 elssuni 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
20 reldisj 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. J  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \  y
) ) )
2118, 19, 203syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \ 
y ) ) )
2217, 21mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  C_  ( U. J  \  y ) )
2314clsss2 17137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  C_  ( U. J  \  y ) )
24 ssdifin0 3710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  C_  ( U. J  \ 
y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y )  =  (/) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i  y )  =  (/) )
2616, 22, 25syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )
27 sseq0 3660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  =  (/) )
2811, 26, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) )
298, 28jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) )
3029ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3130rexlimdva 2831 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3231reximdva 2819 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3332imim2d 51 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3433ralimdv 2786 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3534ralimdv 2786 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3635imp 420 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
37 isnrm2 17423 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
387, 36, 37sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
396, 38impbii 182 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3629   U.cuni 4016   ` cfv 5455   Topctop 16959   Clsdccld 17081   clsccl 17083   Nrmcnrm 17375
This theorem is referenced by:  metnrm  18893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-top 16964  df-cld 17084  df-cls 17086  df-nrm 17382
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