MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnrm3 Unicode version

Theorem isnrm3 17103
Description: A topological space is normal iff any two disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnrm3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    c, d, x, y, J

Proof of Theorem isnrm3
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17080 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 nrmsep 17101 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
323exp2 1169 . . . . 5  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
c  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
d  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
43imp3a 420 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (
( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  d  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
54ralrimivv 2647 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
61, 5jca 518 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
7 simpl 443 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
8 simpr1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
c  C_  x )
9 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
d  C_  y )
10 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d 
C_  y  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )
)
12 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Top )
13 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
y  e.  J )
14 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
1514opncld 16786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1612, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
17 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
18 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
19 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
20 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. J  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \  y
) ) )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  <->  x  C_  ( U. J  \ 
y ) ) )
2217, 21mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  C_  ( U. J  \  y ) )
2314clsss2 16825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  C_  ( U. J  \  y ) )
24 ssdifin0 3548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  C_  ( U. J  \ 
y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  y )  =  (/) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  C_  ( U. J  \  y ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i  y )  =  (/) )
2616, 22, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )
27 sseq0 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  d )  =  (/) )
2811, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) )
298, 28jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  /\  (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) )
3029ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3130rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3231reximdva 2668 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
3332imim2d 48 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3433ralimdv 2635 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d
)  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3534ralimdv 2635 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J ) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3635imp 418 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) )
37 isnrm2 17102 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  ( c  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
387, 36, 37sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
396, 38impbii 180 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. d  e.  ( Clsd `  J
) ( ( c  i^i  d )  =  (/)  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( c  C_  x  /\  d  C_  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771   Nrmcnrm 17054
This theorem is referenced by:  metnrm  18382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-cls 16774  df-nrm 17061
  Copyright terms: Public domain W3C validator