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Theorem isnsg 14646
Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg
Dummy variables  g 
b  p  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nsg 14619 . . . 4  |- NrmSGrp  =  ( g  e.  Grp  |->  { s  e.  (SubGrp `  g )  |  [. ( Base `  g )  /  b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <->  ( y p x )  e.  s ) } )
21dmmptss 5169 . . 3  |-  dom NrmSGrp  C_  Grp
3 elfvdm 5554 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  dom NrmSGrp )
42, 3sseldi 3178 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 subgrcl 14626 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
7 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (SubGrp `  g )  =  (SubGrp `  G ) )
8 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  e. 
_V )
10 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
11 isnsg.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
1210, 11syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  X )
13 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  g )  e.  _V
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  e.  _V )
15 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  g  =  G )
1615fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  ( +g  `  G ) )
17 isnsg.2 . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1816, 17syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  .+  )
19 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  b  =  X )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  p  =  .+  )
2120oveqd 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
2221eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( x p y )  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  s ) )
2320oveqd 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
y p x )  =  ( y  .+  x ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( y p x )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) )
2522, 24bibi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2619, 25raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2719, 26raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2814, 18, 27sbcied2 3028 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
299, 12, 28sbcied2 3028 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  b ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
307, 29rabeqbidv 2783 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  { s  e.  (SubGrp `  g
)  |  [. ( Base `  g )  / 
b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s ) }  =  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
31 fvex 5539 . . . . . 6  |-  (SubGrp `  G )  e.  _V
3231rabex 4165 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) }  e.  _V
3330, 1, 32fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  =  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
3433eleq2d 2350 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } ) )
35 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
36 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  .+  x
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
3735, 36bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
38372ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
3938elrab 2923 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) }  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
4034, 39syl6bb 252 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) ) )
414, 6, 40pm5.21nii 342 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616
This theorem is referenced by:  isnsg2  14647  nsgbi  14648  nsgsubg  14649  isnsg4  14660  nmznsg  14661  ablnsg  15139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subg 14618  df-nsg 14619
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