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Theorem isnsg 14662
Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg
Dummy variables  g 
b  p  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nsg 14635 . . . 4  |- NrmSGrp  =  ( g  e.  Grp  |->  { s  e.  (SubGrp `  g )  |  [. ( Base `  g )  /  b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <->  ( y p x )  e.  s ) } )
21dmmptss 5185 . . 3  |-  dom NrmSGrp  C_  Grp
3 elfvdm 5570 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  dom NrmSGrp )
42, 3sseldi 3191 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 subgrcl 14642 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
7 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (SubGrp `  g )  =  (SubGrp `  G ) )
8 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  e. 
_V )
10 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
11 isnsg.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
1210, 11syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  X )
13 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  g )  e.  _V
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  e.  _V )
15 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  g  =  G )
1615fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  ( +g  `  G ) )
17 isnsg.2 . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1816, 17syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( +g  `  g
)  =  .+  )
19 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  b  =  X )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  p  =  .+  )
2120oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
2221eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( x p y )  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  s ) )
2320oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
y p x )  =  ( y  .+  x ) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( y p x )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) )
2522, 24bibi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2619, 25raleqbidv 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2719, 26raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
2814, 18, 27sbcied2 3041 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  b  =  X )  ->  ( [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
299, 12, 28sbcied2 3041 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  b ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) ) )
307, 29rabeqbidv 2796 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  { s  e.  (SubGrp `  g
)  |  [. ( Base `  g )  / 
b ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( ( x p y )  e.  s  <-> 
( y p x )  e.  s ) }  =  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
31 fvex 5555 . . . . . 6  |-  (SubGrp `  G )  e.  _V
3231rabex 4181 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) }  e.  _V
3330, 1, 32fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  =  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } )
3433eleq2d 2363 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  s ) } ) )
35 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  .+  y
)  e.  s  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
36 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  .+  x
)  e.  s  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
3735, 36bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
38372ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
3938elrab 2936 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  s  <-> 
( y  .+  x
)  e.  s ) }  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
4034, 39syl6bb 252 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) ) )
414, 6, 40pm5.21nii 342 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  NrmSGrpcnsg 14632
This theorem is referenced by:  isnsg2  14663  nsgbi  14664  nsgsubg  14665  isnsg4  14676  nmznsg  14677  ablnsg  15155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-subg 14634  df-nsg 14635
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