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Theorem isnsg2 14647
Description: Weaken the condition of isnsg 14646 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnsg.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 isnsg.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2isnsg 14646 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S ) ) )
4 dfbi2 609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  (
z  .+  x )  e.  S )  /\  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
54ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
65ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
7 r19.26-2 2676 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) ) )
86, 7bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x  .+  z )  e.  S  ->  ( z 
.+  x )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
9 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  y ) )
109eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
11 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( y  .+  x ) )
1211eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
1310, 12imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
1413cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
1514ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
16 ralcom 2700 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. x  e.  X  ( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S ) )
17 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( z  .+  y ) )
1817eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  y )  e.  S
) )
19 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
2019eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  z )  e.  S
) )
2118, 20imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) ) )
2221cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
2322ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
24 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
2524eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
26 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
2726eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
2928ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
3029cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. y  e.  X  (
( z  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3116, 23, 303bitri 262 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3215, 31anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) ) )
33 anidm 625 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  S  ->  ( y 
.+  x )  e.  S ) )
348, 32, 333bitri 262 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3534anbi2i 675 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
363, 35bitri 240 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616
This theorem is referenced by:  isnsg3  14651  tgpconcomp  17795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subg 14618  df-nsg 14619
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