MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsg2 Unicode version

Theorem isnsg2 14746
Description: Weaken the condition of isnsg 14745 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnsg.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 isnsg.2 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2isnsg 14745 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S ) ) )
4 dfbi2 609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  (
z  .+  x )  e.  S )  /\  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
54ralbii 2643 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
65ralbii 2643 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x 
.+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x )  e.  S
)  /\  ( (
z  .+  x )  e.  S  ->  ( x 
.+  z )  e.  S ) ) )
7 r19.26-2 2752 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) ) )
86, 7bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x  .+  z )  e.  S  ->  ( z 
.+  x )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S ) ) )
9 oveq2 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( x  .+  y ) )
109eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
11 oveq1 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( y  .+  x ) )
1211eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
1310, 12imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
1413cbvralv 2840 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
1514ralbii 2643 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  -> 
( z  .+  x
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
16 ralcom 2776 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. x  e.  X  ( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S ) )
17 oveq2 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .+  x )  =  ( z  .+  y ) )
1817eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  .+  x
)  e.  S  <->  ( z  .+  y )  e.  S
) )
19 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
2019eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  z )  e.  S
) )
2118, 20imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( z  .+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) ) )
2221cbvralv 2840 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
2322ralbii 2643 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. x  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S ) )
24 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z  .+  y )  =  ( x  .+  y ) )
2524eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  .+  y
)  e.  S  <->  ( x  .+  y )  e.  S
) )
26 oveq2 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  x ) )
2726eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  .+  z
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) )
2825, 27imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <-> 
( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
2928ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
3029cbvralv 2840 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  X  A. y  e.  X  (
( z  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3116, 23, 303bitri 262 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( z  .+  x
)  e.  S  -> 
( x  .+  z
)  e.  S )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3215, 31anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x  .+  z )  e.  S  ->  ( z  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( ( z 
.+  x )  e.  S  ->  ( x  .+  z )  e.  S
) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  -> 
( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) ) )
33 anidm 625 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x 
.+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x )  e.  S
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x  .+  y )  e.  S  ->  ( y 
.+  x )  e.  S ) )
348, 32, 333bitri 262 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
)  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) )
3534anbi2i 675 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  (
( x  .+  z
)  e.  S  <->  ( z  .+  x )  e.  S
) )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
363, 35bitri 240 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( y  .+  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  SubGrpcsubg 14714  NrmSGrpcnsg 14715
This theorem is referenced by:  isnsg3  14750  tgpconcomp  17897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-ov 5948  df-subg 14717  df-nsg 14718
  Copyright terms: Public domain W3C validator