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Theorem isnsg3 14744
Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg3.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg3.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
isnsg3.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, G, y    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14742 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 isnsg3.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 isnsg3.2 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 isnsg3.3 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
52, 3, 4nsgconj 14743 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
653expb 1152 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S )
76ralrimivva 2711 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
81, 7jca 518 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
9 simpl 443 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 subgrcl 14719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
12 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
13 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
14 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
152, 3, 13, 14grplinv 14621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
1611, 12, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
1716oveq1d 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  w ) )
182, 14grpinvcl 14620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
1911, 12, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
20 simprlr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  w  e.  X )
212, 3grpass 14589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) ) )
2211, 19, 12, 20, 21syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) ) )
232, 3, 13grplid 14605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  w
)  =  w )
2411, 20, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  w )  =  w )
2517, 22, 243eqtr3d 2398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) )  =  w )
2625oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( w  .-  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
272, 3, 4, 14, 11, 20, 12grpsubinv 14634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
w  .-  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )  =  ( w  .+  z ) )
2826, 27eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( w  .+  z ) )
29 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  S )
30 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
31 oveq1 5949 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  y )
)
32 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  ->  x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )
3331, 32oveq12d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .+  y )  .-  x
)  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  y )  .-  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
3433eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( ( ( x 
.+  y )  .-  x )  e.  S  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  y )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
35 oveq2 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  y )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( z  .+  w
) ) )
3635oveq1d 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  y )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )
3736eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  y )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
3834, 37rspc2va 2967 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( z 
.+  w )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
)
3919, 29, 30, 38syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
)
4028, 39eqeltrrd 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
w  .+  z )  e.  S )
4140expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
z  .+  w )  e.  S  ->  ( w 
.+  z )  e.  S ) )
4241ralrimivva 2711 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( (
z  .+  w )  e.  S  ->  ( w 
.+  z )  e.  S ) )
432, 3isnsg2 14740 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( z  .+  w )  e.  S  ->  ( w  .+  z
)  e.  S ) ) )
449, 42, 43sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)
458, 44impbii 180 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   0gc0g 13493   Grpcgrp 14455   inv gcminusg 14456   -gcsg 14458  SubGrpcsubg 14708  NrmSGrpcnsg 14709
This theorem is referenced by:  nsgacs  14746  0nsg  14755  nsgid  14756  ghmnsgima  14799  ghmnsgpreima  14800  cntrsubgnsg  14909  clsnsg  17888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-nsg 14712
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