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Theorem isnsg3 14651
Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg3.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isnsg3.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
isnsg3.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
isnsg3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, G, y    x,  .+ , y    x, S, y    x, X, y

Proof of Theorem isnsg3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14649 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 isnsg3.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 isnsg3.2 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 isnsg3.3 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
52, 3, 4nsgconj 14650 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
653expb 1152 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S )
76ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
81, 7jca 518 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
9 simpl 443 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 subgrcl 14626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
12 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
152, 3, 13, 14grplinv 14528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
1611, 12, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
1716oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  w ) )
182, 14grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
1911, 12, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
20 simprlr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  w  e.  X )
212, 3grpass 14496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) ) )
2211, 19, 12, 20, 21syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  .+  w
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) ) )
232, 3, 13grplid 14512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  w
)  =  w )
2411, 20, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  w )  =  w )
2517, 22, 243eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( z  .+  w ) )  =  w )
2625oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( w  .-  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
272, 3, 4, 14, 11, 20, 12grpsubinv 14541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
w  .-  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )  =  ( w  .+  z ) )
2826, 27eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( w  .+  z ) )
29 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  S )
30 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( (
x  .+  y )  .-  x )  e.  S
)
31 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  y )
)
32 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  ->  x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )
3331, 32oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .+  y )  .-  x
)  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  y )  .-  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
3433eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( ( ( x 
.+  y )  .-  x )  e.  S  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  y )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
35 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  y )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( z  .+  w
) ) )
3635oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  y )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )
3736eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  .+  w )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  y )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
3834, 37rspc2va 2891 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( z 
.+  w )  e.  S )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
)
3919, 29, 30, 38syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( z  .+  w
) )  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
)
4028, 39eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  .+  w )  e.  S
) )  ->  (
w  .+  z )  e.  S )
4140expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
z  .+  w )  e.  S  ->  ( w 
.+  z )  e.  S ) )
4241ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( (
z  .+  w )  e.  S  ->  ( w 
.+  z )  e.  S ) )
432, 3isnsg2 14647 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( z  .+  w )  e.  S  ->  ( w  .+  z
)  e.  S ) ) )
449, 42, 43sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  (
( x  .+  y
)  .-  x )  e.  S )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)
458, 44impbii 180 1  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ( ( x  .+  y )  .-  x
)  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616
This theorem is referenced by:  nsgacs  14653  0nsg  14662  nsgid  14663  ghmnsgima  14706  ghmnsgpreima  14707  cntrsubgnsg  14816  clsnsg  17792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-nsg 14619
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