Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsg3 Structured version   Unicode version

Theorem isnsg3 14979
 Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg3.1
isnsg3.2
isnsg3.3
Assertion
Ref Expression
isnsg3 NrmSGrp SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,

Proof of Theorem isnsg3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 14977 . . 3 NrmSGrp SubGrp
2 isnsg3.1 . . . . . 6
3 isnsg3.2 . . . . . 6
4 isnsg3.3 . . . . . 6
52, 3, 4nsgconj 14978 . . . . 5 NrmSGrp
653expb 1155 . . . 4 NrmSGrp
76ralrimivva 2800 . . 3 NrmSGrp
81, 7jca 520 . 2 NrmSGrp SubGrp
9 simpl 445 . . 3 SubGrp SubGrp
10 subgrcl 14954 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
1110ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
12 simprll 740 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
14 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
152, 3, 13, 14grplinv 14856 . . . . . . . . . . 11
1611, 12, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 SubGrp
1716oveq1d 6099 . . . . . . . . 9 SubGrp
182, 14grpinvcl 14855 . . . . . . . . . . 11
1911, 12, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 SubGrp
20 simprlr 741 . . . . . . . . . 10 SubGrp
212, 3grpass 14824 . . . . . . . . . 10
2211, 19, 12, 20, 21syl13anc 1187 . . . . . . . . 9 SubGrp
232, 3, 13grplid 14840 . . . . . . . . . 10
2411, 20, 23syl2anc 644 . . . . . . . . 9 SubGrp
2517, 22, 243eqtr3d 2478 . . . . . . . 8 SubGrp
2625oveq1d 6099 . . . . . . 7 SubGrp
272, 3, 4, 14, 11, 20, 12grpsubinv 14869 . . . . . . 7 SubGrp
2826, 27eqtrd 2470 . . . . . 6 SubGrp
29 simprr 735 . . . . . . 7 SubGrp
30 simplr 733 . . . . . . 7 SubGrp
31 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10
32 id 21 . . . . . . . . . 10
3331, 32oveq12d 6102 . . . . . . . . 9
3433eleq1d 2504 . . . . . . . 8
35 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10
3635oveq1d 6099 . . . . . . . . 9
3736eleq1d 2504 . . . . . . . 8
3834, 37rspc2va 3061 . . . . . . 7
3919, 29, 30, 38syl21anc 1184 . . . . . 6 SubGrp
4028, 39eqeltrrd 2513 . . . . 5 SubGrp
4140expr 600 . . . 4 SubGrp
4241ralrimivva 2800 . . 3 SubGrp
432, 3isnsg2 14975 . . 3 NrmSGrp SubGrp
449, 42, 43sylanbrc 647 . 2 SubGrp NrmSGrp
458, 44impbii 182 1 NrmSGrp SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  c0g 13728  cgrp 14690  cminusg 14691  csg 14693  SubGrpcsubg 14943  NrmSGrpcnsg 14944 This theorem is referenced by:  nsgacs  14981  0nsg  14990  nsgid  14991  ghmnsgima  15034  ghmnsgpreima  15035  cntrsubgnsg  15144  clsnsg  18144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-nsg 14947
 Copyright terms: Public domain W3C validator