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Theorem isntr 25976
Description: The predicate "is a natural source". (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isntr.1  |-  O1  =  dom  ( id_ `  I
)
isntr.2  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  I
)
isntr.3  |-  D1  =  ( dom_ `  I )
isntr.4  |-  C1  =  ( cod_ `  I )
isntr.5  |-  D 2  =  ( dom_ `  T
)
isntr.6  |-  C 2  =  ( cod_ `  T
)
isntr.7  |-  Ro 2  =  ( o_ `  T )
Assertion
Ref Expression
isntr  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, I    D, m    T, m    S, m
Allowed substitution hints:    O1( m)    M1( m)    D1( m)    C1( m)    D 2( m)    C 2( m)    Ro 2( m)

Proof of Theorem isntr
Dummy variables  i 
d  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  e.  _V
2 mptexg 5761 . . . . . 6  |-  ( (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  e.  _V  ->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )  e.  _V )
31, 2mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )  e.  _V )
4 opeq12 3814 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  -> 
<. i ,  t >.  =  <. I ,  T >. )
54fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( Func OLD `  <. i ,  t >. )  =  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) )
6 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  t  =  T )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( id_ `  i )  =  ( id_ `  I
) )
87adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( id_ `  i
)  =  ( id_ `  I ) )
98dmeqd 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  dom  ( id_ `  i
)  =  dom  ( id_ `  I ) )
106, 9oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  =  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( dom_ `  i )  =  ( dom_ `  I
) )
1211adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( dom_ `  i
)  =  ( dom_ `  I ) )
1312dmeqd 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  dom  ( dom_ `  i
)  =  dom  ( dom_ `  I ) )
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  ( dom_ `  t )  =  ( dom_ `  T
) )
1514adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( dom_ `  t
)  =  ( dom_ `  T ) )
1615fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( dom_ `  t
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) ) )
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  ( cod_ `  t )  =  ( cod_ `  T
) )
1817adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( cod_ `  t
)  =  ( cod_ `  T ) )
1912fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( dom_ `  i
) `  m )  =  ( ( dom_ `  I ) `  m
) )
2019fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) )  =  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )
2118, 20fveq12d 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( dom_ `  i
) `  m )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) ) )
2216, 21eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) ) ) )
2318fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  t
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( d `  m ) ) )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  I  ->  ( cod_ `  i )  =  ( cod_ `  I
) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( cod_ `  i
)  =  ( cod_ `  I ) )
2625fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  i
) `  m )  =  ( ( cod_ `  I ) `  m
) )
2726fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )
2818, 27fveq12d 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
2923, 28eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  <-> 
( ( cod_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) ) )
30 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  (
o_ `  t )  =  ( o_ `  T ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( o_ `  t
)  =  ( o_
`  T ) )
32 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( d `  m
)  =  ( d `
 m ) )
3331, 32, 20oveq123d 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( d `  m ) ( o_
`  t ) ( s `  ( (
dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
3433, 27eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
)  <->  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
3522, 29, 343anbi123d 1252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( (
dom_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( dom_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  t ) ( s `
 ( ( dom_ `  i ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  <-> 
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) ) )
3613, 35raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  i
) ( ( (
dom_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( dom_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  t ) ( s `
 ( ( dom_ `  i ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) ) )
3710, 36rabeqbidv 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  { s  e.  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  i )
( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) ) }  =  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )
385, 37mpteq12dv 4114 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. i ,  t >. )  |->  { s  e.  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  i )
( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) ) } )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) )
39 df-natur 25975 . . . . . 6  |-  Natural  =  ( i  e.  Cat OLD  ,  t  e.  Cat OLD  |->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. i ,  t >. )  |->  { s  e.  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  i )
( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) ) } ) )
4038, 39ovmpt2ga 5993 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )  e.  _V )  ->  ( I  Natural  T )  =  ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) )
413, 40syld3an3 1227 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( I  Natural  T )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) )
4241fveq1d 5543 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( ( I  Natural  T ) `  D )  =  ( ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) `
 D ) )
4342eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  <->  S  e.  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) `
 D ) ) )
44 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  ->  D  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. ) )
45 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  e.  _V
46 rabexg 4180 . . . . 5  |-  ( ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  e. 
_V  ->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  |  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  e.  _V )
4745, 46mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  ->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) }  e.  _V )
48 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  =  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) ) )
49 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  m )  =  ( D `  m ) )
5049fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) ) )
5150eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5249fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( D `  m ) ) )
5352eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5449oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( ( D `  m ) ( o_
`  T ) ( s `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
5554eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  m ) ( o_
`  T ) ( s `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
)  <->  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
5651, 53, 553anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5756ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5848, 57rabeqbidv 2796 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  =  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )
59 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )
6058, 59fvmptg 5616 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  /\  {
s  e.  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) `
 D )  =  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )
6160eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  /\  {
s  e.  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( S  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) `  D
)  <->  S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) )
6244, 47, 61syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) `  D
)  <->  S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) )
63 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( ( dom_ `  I ) `  m ) )  =  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )
6463fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( ( cod_ `  T ) `  ( S `  ( ( dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
6564eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
66 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( ( cod_ `  I ) `  m ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )
6766fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( ( cod_ `  T ) `  ( S `  ( ( cod_ `  I ) `  m ) ) ) )
6867eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
6963oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( ( D `  m ) ( o_
`  T ) ( S `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
7069, 66eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( D `  m ) ( o_
`  T ) ( s `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
)  <->  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
7165, 68, 703anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
7271ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
7372elrab 2936 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  |  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  <->  ( S  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  /\  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
74 isntr.1 . . . . . . . 8  |-  O1  =  dom  ( id_ `  I
)
7574eqcomi 2300 . . . . . . 7  |-  dom  ( id_ `  I )  = 
O1
7675oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  =  ( T  Source  O1 )
7776eleq2i 2360 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  <->  S  e.  ( T  Source  O1 )
)
78 isntr.2 . . . . . . . . 9  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  I
)
7978eqcomi 2300 . . . . . . . 8  |-  dom  ( dom_ `  I )  = 
M1
8079eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  I )  <->  m  e.  M1 )
81 isntr.5 . . . . . . . . . . 11  |-  D 2  =  ( dom_ `  T
)
8281eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom_ `  T )  =  D 2
8382fveq1i 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( D 2 `  ( D `  m )
)
84 isntr.6 . . . . . . . . . . 11  |-  C 2  =  ( cod_ `  T
)
8584eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( cod_ `  T )  =  C 2
86 isntr.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D1  =  ( dom_ `  I )
8786eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom_ `  I )  =  D1
8887fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
dom_ `  I ) `  m )  =  (
D1 `  m )
8988fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) )  =  ( S `  ( D1 `  m ) )
9085, 89fveq12i 5546 . . . . . . . . 9  |-  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m ) ) )
9183, 90eqeq12i 2309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( D 2 `  ( D `  m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m ) ) ) )
9285fveq1i 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( D `  m )
)
93 isntr.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C1  =  ( cod_ `  I )
9493eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cod_ `  I )  =  C1
9594fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
cod_ `  I ) `  m )  =  (
C1 `  m )
9695fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 ( ( cod_ `  I ) `  m
) )  =  ( S `  ( C1 `  m ) )
9785, 96fveq12i 5546 . . . . . . . . 9  |-  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( C1 `  m ) ) )
9892, 97eqeq12i 2309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( C 2 `  ( D `  m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( C1 `  m ) ) ) )
99 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( D `
 m )  =  ( D `  m
)
100 isntr.7 . . . . . . . . . . 11  |-  Ro 2  =  ( o_ `  T )
101100eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( o_
`  T )  =  Ro 2
10299, 89, 101oveq123i 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D `  m ) ( o_ `  T
) ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  =  ( ( D `  m
) Ro 2 ( S `  ( D1 `  m
) ) )
103102, 96eqeq12i 2309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) )  <->  ( ( D `  m ) Ro 2 ( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `  ( C1 `  m ) ) )
10491, 98, 1033anbi123i 1140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  <-> 
( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) )
10580, 104imbi12i 316 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  dom  ( dom_ `  I )  -> 
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )  <->  ( m  e.  M1  ->  ( ( D 2 `  ( D `
 m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m ) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `
 m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( C1 `  m ) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2 ( S `
 ( D1 `  m
) ) )  =  ( S `  ( C1 `  m ) ) ) ) )
106105ralbii2 2584 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  <->  A. m  e.  M1  (
( D 2 `  ( D `  m ) )  =  ( C 2 `  ( S `
 ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) )
10777, 106anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) )  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) )
10873, 107bitri 240 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  |  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) )
10962, 108syl6bb 252 . 2  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) `  D
)  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) ) )
11043, 109bitrd 244 1  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   <.cop 3656    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat
OLD ccatOLD 25855   Func
OLDcfuncOLD 25934    Source csrce 25968    Natural cntrl 25974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-natur 25975
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