Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isntr Unicode version

Theorem isntr 25873
Description: The predicate "is a natural source". (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isntr.1  |-  O1  =  dom  ( id_ `  I
)
isntr.2  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  I
)
isntr.3  |-  D1  =  ( dom_ `  I )
isntr.4  |-  C1  =  ( cod_ `  I )
isntr.5  |-  D 2  =  ( dom_ `  T
)
isntr.6  |-  C 2  =  ( cod_ `  T
)
isntr.7  |-  Ro 2  =  ( o_ `  T )
Assertion
Ref Expression
isntr  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, I    D, m    T, m    S, m
Allowed substitution hints:    O1( m)    M1( m)    D1( m)    C1( m)    D 2( m)    C 2( m)    Ro 2( m)

Proof of Theorem isntr
Dummy variables  i 
d  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  e.  _V
2 mptexg 5745 . . . . . 6  |-  ( (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  e.  _V  ->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )  e.  _V )
31, 2mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )  e.  _V )
4 opeq12 3798 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  -> 
<. i ,  t >.  =  <. I ,  T >. )
54fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( Func OLD `  <. i ,  t >. )  =  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) )
6 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  t  =  T )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( id_ `  i )  =  ( id_ `  I
) )
87adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( id_ `  i
)  =  ( id_ `  I ) )
98dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  dom  ( id_ `  i
)  =  dom  ( id_ `  I ) )
106, 9oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  =  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) ) )
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( dom_ `  i )  =  ( dom_ `  I
) )
1211adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( dom_ `  i
)  =  ( dom_ `  I ) )
1312dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  dom  ( dom_ `  i
)  =  dom  ( dom_ `  I ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  ( dom_ `  t )  =  ( dom_ `  T
) )
1514adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( dom_ `  t
)  =  ( dom_ `  T ) )
1615fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( dom_ `  t
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  ( cod_ `  t )  =  ( cod_ `  T
) )
1817adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( cod_ `  t
)  =  ( cod_ `  T ) )
1912fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( dom_ `  i
) `  m )  =  ( ( dom_ `  I ) `  m
) )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) )  =  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )
2118, 20fveq12d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( dom_ `  i
) `  m )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) ) )
2216, 21eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) ) ) )
2318fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  t
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( d `  m ) ) )
24 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  I  ->  ( cod_ `  i )  =  ( cod_ `  I
) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( cod_ `  i
)  =  ( cod_ `  I ) )
2625fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  i
) `  m )  =  ( ( cod_ `  I ) `  m
) )
2726fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )
2818, 27fveq12d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
2923, 28eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  <-> 
( ( cod_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) ) )
30 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  (
o_ `  t )  =  ( o_ `  T ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( o_ `  t
)  =  ( o_
`  T ) )
32 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( d `  m
)  =  ( d `
 m ) )
3331, 32, 20oveq123d 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( d `  m ) ( o_
`  t ) ( s `  ( (
dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
3433, 27eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
)  <->  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
3522, 29, 343anbi123d 1252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( ( (
dom_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( dom_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  t ) ( s `
 ( ( dom_ `  i ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  <-> 
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) ) )
3613, 35raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  i
) ( ( (
dom_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( dom_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  t ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  t
) `  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  t ) ( s `
 ( ( dom_ `  i ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) ) )
3710, 36rabeqbidv 2783 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  { s  e.  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  i )
( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) ) }  =  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )
385, 37mpteq12dv 4098 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. i ,  t >. )  |->  { s  e.  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  i )
( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) ) } )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) )
39 df-natur 25872 . . . . . 6  |-  Natural  =  ( i  e.  Cat OLD  ,  t  e.  Cat OLD  |->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. i ,  t >. )  |->  { s  e.  ( t  Source  dom  ( id_ `  i ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  i )
( ( ( dom_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  t ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  t ) `  ( s `  (
( cod_ `  i ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  t ) ( s `  (
( dom_ `  i ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  i
) `  m )
) ) } ) )
4038, 39ovmpt2ga 5977 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )  e.  _V )  ->  ( I  Natural  T )  =  ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) )
413, 40syld3an3 1227 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( I  Natural  T )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) )
4241fveq1d 5527 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( ( I  Natural  T ) `  D )  =  ( ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) `
 D ) )
4342eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  <->  S  e.  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) `
 D ) ) )
44 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  ->  D  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. ) )
45 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  e.  _V
46 rabexg 4164 . . . . 5  |-  ( ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  e. 
_V  ->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  |  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  e.  _V )
4745, 46mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  ->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) }  e.  _V )
48 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  =  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) ) )
49 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  m )  =  ( D `  m ) )
5049fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) ) )
5150eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5249fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( D `  m ) ) )
5352eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5449oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( ( D `  m ) ( o_
`  T ) ( s `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
5554eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  m ) ( o_
`  T ) ( s `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
)  <->  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
5651, 53, 553anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5756ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
5848, 57rabeqbidv 2783 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  =  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } )
59 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )
6058, 59fvmptg 5600 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  /\  {
s  e.  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  (
d `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( d `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } ) `
 D )  =  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  | 
A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) } )
6160eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  /\  {
s  e.  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( S  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) `  D
)  <->  S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) )
6244, 47, 61syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) `  D
)  <->  S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) )
63 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( ( dom_ `  I ) `  m ) )  =  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( ( cod_ `  T ) `  ( S `  ( ( dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
6564eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
66 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( ( cod_ `  I ) `  m ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )
6766fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( ( cod_ `  T ) `  ( S `  ( ( cod_ `  I ) `  m ) ) ) )
6867eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
6963oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( ( D `  m ) ( o_
`  T ) ( S `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) ) )
7069, 66eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( D `  m ) ( o_
`  T ) ( s `  ( (
dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
)  <->  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )
7165, 68, 703anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
7271ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  I )
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( s `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
7372elrab 2923 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  |  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  <->  ( S  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  /\  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) ) )
74 isntr.1 . . . . . . . 8  |-  O1  =  dom  ( id_ `  I
)
7574eqcomi 2287 . . . . . . 7  |-  dom  ( id_ `  I )  = 
O1
7675oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  =  ( T  Source  O1 )
7776eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  <->  S  e.  ( T  Source  O1 )
)
78 isntr.2 . . . . . . . . 9  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  I
)
7978eqcomi 2287 . . . . . . . 8  |-  dom  ( dom_ `  I )  = 
M1
8079eleq2i 2347 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  dom  ( dom_ `  I )  <->  m  e.  M1 )
81 isntr.5 . . . . . . . . . . 11  |-  D 2  =  ( dom_ `  T
)
8281eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom_ `  T )  =  D 2
8382fveq1i 5526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( D 2 `  ( D `  m )
)
84 isntr.6 . . . . . . . . . . 11  |-  C 2  =  ( cod_ `  T
)
8584eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  ( cod_ `  T )  =  C 2
86 isntr.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D1  =  ( dom_ `  I )
8786eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom_ `  I )  =  D1
8887fveq1i 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
dom_ `  I ) `  m )  =  (
D1 `  m )
8988fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) )  =  ( S `  ( D1 `  m ) )
9085, 89fveq12i 5530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m ) ) )
9183, 90eqeq12i 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( D 2 `  ( D `  m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m ) ) ) )
9285fveq1i 5526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( D `  m )
)
93 isntr.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C1  =  ( cod_ `  I )
9493eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cod_ `  I )  =  C1
9594fveq1i 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
cod_ `  I ) `  m )  =  (
C1 `  m )
9695fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( S `
 ( ( cod_ `  I ) `  m
) )  =  ( S `  ( C1 `  m ) )
9785, 96fveq12i 5530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( C1 `  m ) ) )
9892, 97eqeq12i 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  <->  ( C 2 `  ( D `  m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( C1 `  m ) ) ) )
99 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( D `
 m )  =  ( D `  m
)
100 isntr.7 . . . . . . . . . . 11  |-  Ro 2  =  ( o_ `  T )
101100eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  ( o_
`  T )  =  Ro 2
10299, 89, 101oveq123i 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D `  m ) ( o_ `  T
) ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  =  ( ( D `  m
) Ro 2 ( S `  ( D1 `  m
) ) )
103102, 96eqeq12i 2296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) )  <->  ( ( D `  m ) Ro 2 ( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `  ( C1 `  m ) ) )
10491, 98, 1033anbi123i 1140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  <-> 
( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) )
10580, 104imbi12i 316 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  dom  ( dom_ `  I )  -> 
( ( ( dom_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( D `  m )
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  /\  ( ( D `
 m ) ( o_ `  T ) ( S `  (
( dom_ `  I ) `  m ) ) )  =  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) ) )  <->  ( m  e.  M1  ->  ( ( D 2 `  ( D `
 m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m ) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `
 m ) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( C1 `  m ) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2 ( S `
 ( D1 `  m
) ) )  =  ( S `  ( C1 `  m ) ) ) ) )
106105ralbii2 2571 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) )  <->  A. m  e.  M1  (
( D 2 `  ( D `  m ) )  =  ( C 2 `  ( S `
 ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) )
10777, 106anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ( T 
Source  dom  ( id_ `  I
) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( D `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( S `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( S `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( S `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) )  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) )
10873, 107bitri 240 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I ) )  |  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  I
) ( ( (
dom_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( D `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( D `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) }  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) )
10962, 108syl6bb 252 . 2  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { s  e.  ( T  Source  dom  ( id_ `  I
) )  |  A. m  e.  dom  ( dom_ `  I ) ( ( ( dom_ `  T
) `  ( d `  m ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( dom_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( cod_ `  T ) `  ( d `  m
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( s `  ( ( cod_ `  I
) `  m )
) )  /\  (
( d `  m
) ( o_ `  T ) ( s `
 ( ( dom_ `  I ) `  m
) ) )  =  ( s `  (
( cod_ `  I ) `  m ) ) ) } ) `  D
)  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) ) )
11043, 109bitrd 244 1  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( S  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  <->  ( S  e.  ( T  Source  O1 )  /\  A. m  e.  M1  ( ( D 2 `  ( D `  m
) )  =  ( C 2 `  ( S `  ( D1 `  m
) ) )  /\  ( C 2 `  ( D `  m )
)  =  ( C 2 `  ( S `
 ( C1 `  m
) ) )  /\  ( ( D `  m ) Ro 2
( S `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( S `
 ( C1 `  m
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   <.cop 3643    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715    Cat
OLD ccatOLD 25752   Func
OLDcfuncOLD 25831    Source csrce 25865    Natural cntrl 25871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-natur 25872
  Copyright terms: Public domain W3C validator