Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Unicode version

Theorem isnumbasgrplem1 27369
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 6925 . . 3  |-  ( C 
~~  B  <->  B  ~~  C )
2 bren 6887 . . 3  |-  ( B 
~~  C  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
31, 2bitri 240 . 2  |-  ( C 
~~  B  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
4 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  =  ( f  "s  R
) )
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  B  =  ( Base `  R ) )
7 f1ofo 5495 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  f : B -onto-> C )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -onto-> C
)
9 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Abel )
104, 6, 8, 9imasbas 13431 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  =  ( Base `  ( f  "s  R )
) )
11 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -1-1-onto-> C )
12 ablgrp 15110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
1312adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Grp )
144, 6, 11, 13imasgim 27367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f  e.  ( R GrpIso 
( f  "s  R )
) )
15 brgici 14750 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R GrpIso  (
f  "s  R ) )  ->  R  ~=ph𝑔  ( f  "s  R )
)
16 gicabl 27366 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
~=ph𝑔  ( f  "s  R )  ->  ( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
189, 17mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  e.  Abel )
19 basfn 27368 . . . . . . . 8  |-  Base  Fn  _V
20 ssv 3211 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  _V
21 fnfvima 5772 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Abel  C_ 
_V  /\  ( f  "s  R )  e.  Abel )  ->  ( Base `  (
f  "s  R ) )  e.  ( Base " Abel ) )
2219, 20, 21mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( f  "s  R )  e.  Abel  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2318, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2410, 23eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) )
2524ex 423 . . . 4  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base " Abel )
) )
2625exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) ) )
2726impcom 419 . 2  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  E. f  f : B -1-1-onto-> C
)  ->  C  e.  ( Base " Abel )
)
283, 27sylan2b 461 1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   "cima 4708    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Basecbs 13164    "s cimas 13423   Grpcgrp 14378   GrpIso cgim 14737    ~=ph𝑔 cgic 14738   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  27373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-gic 14740  df-cmn 15107  df-abl 15108
  Copyright terms: Public domain W3C validator