Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Unicode version

Theorem isnumbasgrplem1 26936
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7092 . . 3  |-  ( C 
~~  B  <->  B  ~~  C )
2 bren 7054 . . 3  |-  ( B 
~~  C  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
31, 2bitri 241 . 2  |-  ( C 
~~  B  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
4 eqidd 2389 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  =  ( f  "s  R
) )
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  B  =  ( Base `  R ) )
7 f1ofo 5622 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  f : B -onto-> C )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -onto-> C
)
9 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Abel )
104, 6, 8, 9imasbas 13666 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  =  ( Base `  ( f  "s  R )
) )
11 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -1-1-onto-> C )
12 ablgrp 15345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
1312adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Grp )
144, 6, 11, 13imasgim 26934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f  e.  ( R GrpIso 
( f  "s  R )
) )
15 brgici 14985 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R GrpIso  (
f  "s  R ) )  ->  R  ~=ph𝑔  ( f  "s  R )
)
16 gicabl 26933 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
~=ph𝑔  ( f  "s  R )  ->  ( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
1714, 15, 163syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
189, 17mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  e.  Abel )
19 basfn 26935 . . . . . . . 8  |-  Base  Fn  _V
20 ssv 3312 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  _V
21 fnfvima 5916 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Abel  C_ 
_V  /\  ( f  "s  R )  e.  Abel )  ->  ( Base `  (
f  "s  R ) )  e.  ( Base " Abel ) )
2219, 20, 21mp3an12 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( f  "s  R )  e.  Abel  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2318, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2410, 23eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) )
2524ex 424 . . . 4  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base " Abel )
) )
2625exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) ) )
2726impcom 420 . 2  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  E. f  f : B -1-1-onto-> C
)  ->  C  e.  ( Base " Abel )
)
283, 27sylan2b 462 1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   "cima 4822    Fn wfn 5390   -onto->wfo 5393   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ~~ cen 7043   Basecbs 13397    "s cimas 13658   Grpcgrp 14613   GrpIso cgim 14972    ~=ph𝑔 cgic 14973   Abelcabel 15341
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  26940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-0g 13655  df-imas 13662  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-ghm 14932  df-gim 14974  df-gic 14975  df-cmn 15342  df-abl 15343
  Copyright terms: Public domain W3C validator