Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem1 27224
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 7147 . . 3  |-  ( C 
~~  B  <->  B  ~~  C )
2 bren 7109 . . 3  |-  ( B 
~~  C  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
31, 2bitri 241 . 2  |-  ( C 
~~  B  <->  E. f 
f : B -1-1-onto-> C )
4 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  =  ( f  "s  R
) )
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  B  =  ( Base `  R ) )
7 f1ofo 5673 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  f : B -onto-> C )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -onto-> C
)
9 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Abel )
104, 6, 8, 9imasbas 13730 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  =  ( Base `  ( f  "s  R )
) )
11 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f : B -1-1-onto-> C )
12 ablgrp 15409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. 
Grp )
1312adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  R  e.  Grp )
144, 6, 11, 13imasgim 27222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
f  e.  ( R GrpIso 
( f  "s  R )
) )
15 brgici 15049 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R GrpIso  (
f  "s  R ) )  ->  R  ~=ph𝑔  ( f  "s  R )
)
16 gicabl 27221 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
~=ph𝑔  ( f  "s  R )  ->  ( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
1714, 15, 163syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( R  e.  Abel  <->  (
f  "s  R )  e.  Abel ) )
189, 17mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( f  "s  R )  e.  Abel )
19 basfn 27223 . . . . . . . 8  |-  Base  Fn  _V
20 ssv 3360 . . . . . . . 8  |-  Abel  C_  _V
21 fnfvima 5968 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  Abel  C_ 
_V  /\  ( f  "s  R )  e.  Abel )  ->  ( Base `  (
f  "s  R ) )  e.  ( Base " Abel ) )
2219, 20, 21mp3an12 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( f  "s  R )  e.  Abel  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2318, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  -> 
( Base `  ( f  "s  R ) )  e.  (
Base " Abel ) )
2410, 23eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> C  /\  R  e.  Abel )  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) )
2524ex 424 . . . 4  |-  ( f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base " Abel )
) )
2625exlimiv 1644 . . 3  |-  ( E. f  f : B -1-1-onto-> C  ->  ( R  e.  Abel  ->  C  e.  ( Base "
Abel ) ) )
2726impcom 420 . 2  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  E. f  f : B -1-1-onto-> C
)  ->  C  e.  ( Base " Abel )
)
283, 27sylan2b 462 1  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  C  ~~  B )  ->  C  e.  ( Base " Abel ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   "cima 4873    Fn wfn 5441   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~~ cen 7098   Basecbs 13461    "s cimas 13722   Grpcgrp 14677   GrpIso cgim 15036    ~=ph𝑔 cgic 15037   Abelcabel 15405
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  27228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-0g 13719  df-imas 13726  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-gim 15038  df-gic 15039  df-cmn 15406  df-abl 15407
  Copyright terms: Public domain W3C validator