Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Structured version   Unicode version

Theorem isnumbasgrplem3 27249
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 11641 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  =  (ℤ/n `  ( # `  S
) )
43zncrng 16827 . . . . 5  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  CRing )
5 crngrng 15676 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  CRing  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Ring )
6 rngabl 15695 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Ring  ->  (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Abel )
72, 4, 5, 64syl 20 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Abel )
8 hashnncl 11647 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
98biimparc 475 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e.  NN )
10 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) )
113, 10znhash 16841 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  =  ( # `  S
) )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )  =  (
# `  S )
)
1312eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
14 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  Fin )
153, 10znfi 16842 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
169, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
17 hashen 11633 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
1814, 16, 17syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
1913, 18mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )
2010isnumbasgrplem1 27245 . . . 4  |-  ( ( (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
217, 19, 20syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
2221adantll 696 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
23 2nn0 10240 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
24 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  (ℤ/n `  2
)  =  (ℤ/n `  2
)
2524zncrng 16827 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  2
)  e.  CRing )
26 crngrng 15676 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  2 )  e. 
Ring )
2723, 25, 26mp2b 10 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  Ring
28 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 ) freeLMod  S )  =  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )
2928frlmlmod 27196 . . . . . 6  |-  ( ( (ℤ/n `  2 )  e. 
Ring  /\  S  e.  dom  card )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  LMod )
3027, 29mpan 653 . . . . 5  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod )
31 lmodabl 15993 . . . . 5  |-  ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3332ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  Abel )
34 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  =  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )
3524, 28, 34frlmpwfi 27241 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  card  ->  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3635ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )
)
37 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  dom  card )
38 numinfctb 27247 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
-.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
3938adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
40 infpwfien 7945 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  S )  -> 
( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )
4137, 39, 40syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S
)
42 entr 7161 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
4336, 41, 42syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
4443ensymd 7160 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) ) )
4534isnumbasgrplem1 27245 . . 3  |-  ( ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) ) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
4633, 44, 45syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
4722, 46pm2.61dan 768 1  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    i^i cin 3321   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214   omcom 4847   dom cdm 4880   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109   Fincfn 7111   cardccrd 7824   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   #chash 11620   Basecbs 13471   Abelcabel 15415   Ringcrg 15662   CRingccrg 15663   LModclmod 15952  ℤ/nczn 16783   freeLMod cfrlm 27191
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  27250  dfacbasgrp  27252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-hash 11621  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-gic 15049  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-cnfld 16706  df-zrh 16784  df-zn 16787  df-dsmm 27177  df-frlm 27193
  Copyright terms: Public domain W3C validator