Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Unicode version

Theorem isnumbasgrplem3 27373
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 11366 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
21adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  =  (ℤ/n `  ( # `  S
) )
43zncrng 16514 . . . . . 6  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  CRing )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  CRing )
6 crngrng 15367 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  CRing  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Ring )
7 rngabl 15386 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Ring  ->  (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Abel )
85, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Abel )
9 hashnncl 11370 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
109biimparc 473 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e.  NN )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) )
123, 11znhash 16528 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  =  ( # `  S
) )
1310, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )  =  (
# `  S )
)
1413eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
15 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  Fin )
163, 11znfi 16529 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
1710, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
18 hashen 11362 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
2014, 19mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )
2111isnumbasgrplem1 27369 . . . 4  |-  ( ( (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
228, 20, 21syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
2322adantll 694 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
24 2nn0 9998 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
25 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (ℤ/n `  2
)  =  (ℤ/n `  2
)
2625zncrng 16514 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  2
)  e.  CRing )
27 crngrng 15367 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  2 )  e. 
Ring )
2824, 26, 27mp2b 9 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  Ring
29 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 ) freeLMod  S )  =  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )
3029frlmlmod 27320 . . . . . 6  |-  ( ( (ℤ/n `  2 )  e. 
Ring  /\  S  e.  dom  card )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  LMod )
3128, 30mpan 651 . . . . 5  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod )
32 lmodabl 15688 . . . . 5  |-  ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3331, 32syl 15 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3433ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  Abel )
35 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  =  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )
3625, 29, 35frlmpwfi 27365 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  card  ->  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3736ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )
)
38 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  dom  card )
39 numinfctb 27371 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
-.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
4039adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
41 infpwfien 7705 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  S )  -> 
( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )
4238, 40, 41syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S
)
43 entr 6929 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
4437, 42, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
45 ensym 6926 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )  ~~  S  ->  S  ~~  ( Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) ) )
4644, 45syl 15 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) ) )
4735isnumbasgrplem1 27369 . . 3  |-  ( ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) ) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
4834, 46, 47syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
4923, 48pm2.61dan 766 1  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   omcom 4672   dom cdm 4705   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   cardccrd 7584   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   #chash 11353   Basecbs 13164   Abelcabel 15106   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   LModclmod 15643  ℤ/nczn 16470   freeLMod cfrlm 27315
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  27374  dfacbasgrp  27376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-hash 11354  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-gic 14740  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dsmm 27301  df-frlm 27317
  Copyright terms: Public domain W3C validator