Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem3 Unicode version

Theorem isnumbasgrplem3 27270
Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem3  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem3
StepHypRef Expression
1 hashcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
21adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  =  (ℤ/n `  ( # `  S
) )
43zncrng 16498 . . . . . 6  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  CRing )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  CRing )
6 crngrng 15351 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  CRing  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Ring )
7 rngabl 15370 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Ring  ->  (ℤ/n `  ( # `  S ) )  e.  Abel )
85, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (ℤ/n `  ( # `
 S ) )  e.  Abel )
9 hashnncl 11354 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
109biimparc 473 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  e.  NN )
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) )
123, 11znhash 16512 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  =  ( # `  S
) )
1310, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )  =  (
# `  S )
)
1413eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
15 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  Fin )
163, 11znfi 16513 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
1710, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )
18 hashen 11346 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  (
( # `  S )  =  ( # `  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  <-> 
S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) ) )
2014, 19mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `
 S ) ) ) )
2111isnumbasgrplem1 27266 . . . 4  |-  ( ( (ℤ/n `  ( # `  S
) )  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (ℤ/n `  ( # `  S
) ) ) )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
228, 20, 21syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
2322adantll 694 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  S  e.  Fin )  ->  S  e.  ( Base " Abel ) )
24 2nn0 9982 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
25 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (ℤ/n `  2
)  =  (ℤ/n `  2
)
2625zncrng 16498 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  2
)  e.  CRing )
27 crngrng 15351 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  2 )  e. 
Ring )
2824, 26, 27mp2b 9 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  Ring
29 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (ℤ/n ` 
2 ) freeLMod  S )  =  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )
3029frlmlmod 27217 . . . . . 6  |-  ( ( (ℤ/n `  2 )  e. 
Ring  /\  S  e.  dom  card )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  LMod )
3128, 30mpan 651 . . . . 5  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod )
32 lmodabl 15672 . . . . 5  |-  ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  LMod  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3331, 32syl 15 . . . 4  |-  ( S  e.  dom  card  ->  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel )
3433ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S )  e.  Abel )
35 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  =  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )
3625, 29, 35frlmpwfi 27262 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  card  ->  (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3736ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )
)
38 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  dom  card )
39 numinfctb 27268 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
-.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
4039adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  om  ~<_  S )
41 infpwfien 7689 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  S )  -> 
( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )
4238, 40, 41syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S
)
43 entr 6913 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  ~~  S )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
4437, 42, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) )  ~~  S
)
45 ensym 6910 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) )  ~~  S  ->  S  ~~  ( Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) ) )
4644, 45syl 15 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  ~~  ( Base `  ( (ℤ/n `  2
) freeLMod  S ) ) )
4735isnumbasgrplem1 27266 . . 3  |-  ( ( ( (ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
)  e.  Abel  /\  S  ~~  ( Base `  (
(ℤ/n `  2 ) freeLMod  S
) ) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
4834, 46, 47syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  e.  (
Base " Abel ) )
4923, 48pm2.61dan 766 1  |-  ( ( S  e.  dom  card  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  ( Base "
Abel ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    i^i cin 3151   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   omcom 4656   dom cdm 4689   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   cardccrd 7568   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   #chash 11337   Basecbs 13148   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   LModclmod 15627  ℤ/nczn 16454   freeLMod cfrlm 27212
This theorem is referenced by:  isnumbasabl  27271  dfacbasgrp  27273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-hash 11338  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-gic 14724  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dsmm 27198  df-frlm 27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator