MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnumi Unicode version

Theorem isnumi 7579
Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumi  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  ~~  B )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem isnumi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  B  <->  A  ~~  B ) )
21rspcev 2884 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  ~~  B )  ->  E. x  e.  On  x  ~~  B )
3 isnum2 7578 . 2  |-  ( B  e.  dom  card  <->  E. x  e.  On  x  ~~  B
)
42, 3sylibr 203 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  A  ~~  B )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   dom cdm 4689    ~~ cen 6860   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  finnum  7581  onenon  7582  tskwe  7583  xpnum  7584  isnum3  7587  dfac8alem  7656  cdanum  7825  fin67  8021  isfin7-2  8022  gchacg  8294  gch2  8301  znnen  12491  qnnen  12492  met1stc  18067  re2ndc  18307  uniiccdif  18933  dyadmbl  18955  opnmblALT  18958  mbfimaopnlem  19010  aannenlem3  19710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-en 6864  df-card 7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator