Theorem isnv 8231

Description: The predicate "is a normed complex vector space."

Hypotheses

Ref	Expression
isnv.1	|- X = ran G
isnv.2	|- Z = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
isnv	|- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))))

Distinct variable groups:   x,y,G   x,N,y   x,S,y   x,X,y

Proof of Theorem isnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvex 8230	. 2 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
2		vcex 8199	. . . . . 6 |- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. V /\ S e. V))
3	2	adantr 389	. . . . 5 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> (G e. V /\ S e. V))
4		fex 3652	. . . . . . 7 |- ((N:X-->RR /\ X e. V) -> N e. V)
5	2	pm3.26d 321	. . . . . . . . 9 |- (<.G, S>. e. CVec -> G e. V)
6		rnexg 3359	. . . . . . . . 9 |- (G e. V -> ran G e. V)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . 8 |- (<.G, S>. e. CVec -> ran G e. V)
8		isnv.1	. . . . . . . 8 |- X = ran G
9	7, 8	syl5eqel 1552	. . . . . . 7 |- (<.G, S>. e. CVec -> X e. V)
10	4, 9	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((N:X-->RR /\ <.G, S>. e. CVec) -> N e. V)
11	10	ancoms 436	. . . . 5 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> N e. V)
12	3, 11	jca 288	. . . 4 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> ((G e. V /\ S e. V) /\ N e. V))
13		df-3an 777	. . . 4 |- ((G e. V /\ S e. V /\ N e. V) <-> ((G e. V /\ S e. V) /\ N e. V))
14	12, 13	sylibr 200	. . 3 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
15	14	3adant3 799	. 2 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))) -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
16		isnv.2	. . 3 |- Z = (Id` G)
17	8, 16	isnvlem 8229	. 2 |- ((G e. V /\ S e. V /\ N e. V) -> (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y))))))
18	1, 15, 17	pm5.21nii 679	1 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  <.cop 2411   class class class wbr 2619  ran crn 3171  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295  abscabs 6750  Idcgi 8034  CVeccvc 8164  NrmCVeccnv 8203

This theorem is referenced by:  isnvi 8232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211

Copyright terms: Public domain