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Theorem isnvlem 22120
Description: Lemma for isnv 22122. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isnvlem.1  |-  X  =  ran  G
isnvlem.2  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isnvlem  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  <->  ( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD 
/\  N : X --> RR  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, N, y    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    Z( x, y)

Proof of Theorem isnvlem
Dummy variables  g  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nv 22102 . . 3  |-  NrmCVec  =  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  |  ( <. g ,  s
>.  e.  CVec OLD  /\  n : ran  g --> RR  /\  A. x  e.  ran  g
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  (GId `  g ) )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e. 
ran  g ( n `
 ( x g y ) )  <_ 
( ( n `  x )  +  ( n `  y ) ) ) ) }
21eleq2i 2506 . 2  |-  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  <->  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e. 
{ <. <. g ,  s
>. ,  n >.  |  ( <. g ,  s
>.  e.  CVec OLD  /\  n : ran  g --> RR  /\  A. x  e.  ran  g
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  (GId `  g ) )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e. 
ran  g ( n `
 ( x g y ) )  <_ 
( ( n `  x )  +  ( n `  y ) ) ) ) } )
3 opeq1 4008 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  <. g ,  s >.  =  <. G ,  s >. )
43eleq1d 2508 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( <. g ,  s >.  e.  CVec OLD  <->  <. G ,  s
>.  e.  CVec OLD ) )
5 rneq 5124 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  ran  G )
6 isnvlem.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
75, 6syl6eqr 2492 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  X )
87feq2d 5610 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
n : ran  g --> RR 
<->  n : X --> RR ) )
9 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (GId `  g )  =  (GId
`  G ) )
10 isnvlem.2 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (GId `  G )
119, 10syl6eqr 2492 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (GId `  g )  =  Z )
1211eqeq2d 2453 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
x  =  (GId `  g )  <->  x  =  Z ) )
1312imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  (GId
`  g ) )  <-> 
( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z ) ) )
14 oveq 6116 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
1514fveq2d 5761 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g y ) )  =  ( n `  ( x G y ) ) )
1615breq1d 4247 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g y ) )  <_  ( (
n `  x )  +  ( n `  y ) )  <->  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) )
177, 16raleqbidv 2922 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  ran  g ( n `  ( x g y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) )  <->  A. y  e.  X  ( n `  (
x G y ) )  <_  ( (
n `  x )  +  ( n `  y ) ) ) )
1813, 173anbi13d 1257 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  (GId `  g ) )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e. 
ran  g ( n `
 ( x g y ) )  <_ 
( ( n `  x )  +  ( n `  y ) ) )  <->  ( (
( n `  x
)  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  (
y s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( n `  x ) )  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  ( ( n `
 x )  +  ( n `  y
) ) ) ) )
197, 18raleqbidv 2922 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  ran  g ( ( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  (GId `  g )
)  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e. 
ran  g ( n `
 ( x g y ) )  <_ 
( ( n `  x )  +  ( n `  y ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( (
( n `  x
)  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  (
y s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( n `  x ) )  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  ( ( n `
 x )  +  ( n `  y
) ) ) ) )
204, 8, 193anbi123d 1255 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( <. g ,  s
>.  e.  CVec OLD  /\  n : ran  g --> RR  /\  A. x  e.  ran  g
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  (GId `  g ) )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e. 
ran  g ( n `
 ( x g y ) )  <_ 
( ( n `  x )  +  ( n `  y ) ) ) )  <->  ( <. G ,  s >.  e.  CVec OLD 
/\  n : X --> RR  /\  A. x  e.  X  ( ( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y
s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) ) ) )
21 opeq2 4009 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  <. G , 
s >.  =  <. G ,  S >. )
2221eleq1d 2508 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( <. G ,  s >.  e.  CVec OLD  <->  <. G ,  S >.  e.  CVec OLD ) )
23 oveq 6116 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
y s x )  =  ( y S x ) )
2423fveq2d 5761 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
n `  ( y
s x ) )  =  ( n `  ( y S x ) ) )
2524eqeq1d 2450 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( n `  (
y s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( n `  x ) )  <->  ( n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) ) ) )
2625ralbidv 2731 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  CC  ( n `  (
y s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( n `  x ) )  <->  A. y  e.  CC  ( n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) ) ) )
27263anbi2d 1260 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y
s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) )  <->  ( ( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) ) )
2827ralbidv 2731 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y
s x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) ) )
2922, 283anbi13d 1257 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( <. G ,  s
>.  e.  CVec OLD  /\  n : X --> RR  /\  A. x  e.  X  (
( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) )  <->  ( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD 
/\  n : X --> RR  /\  A. x  e.  X  ( ( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) ) ) )
30 feq1 5605 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n : X --> RR  <->  N : X
--> RR ) )
31 fveq1 5756 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  x )  =  ( N `  x ) )
3231eqeq1d 2450 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  x
)  =  0  <->  ( N `  x )  =  0 ) )
3332imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  <->  ( ( N `
 x )  =  0  ->  x  =  Z ) ) )
34 fveq1 5756 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( y S x ) )  =  ( N `  ( y S x ) ) )
3531oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
) )
3634, 35eqeq12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( n `  x ) )  <->  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( N `
 x ) ) ) )
3736ralbidv 2731 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A. y  e.  CC  ( n `  (
y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( n `  x ) )  <->  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( N `
 x ) ) ) )
38 fveq1 5756 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G y ) )  =  ( N `  ( x G y ) ) )
39 fveq1 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  y )  =  ( N `  y ) )
4031, 39oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) )  =  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
4138, 40breq12d 4250 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G y ) )  <_  ( (
n `  x )  +  ( n `  y ) )  <->  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
4241ralbidv 2731 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A. y  e.  X  ( n `  (
x G y ) )  <_  ( (
n `  x )  +  ( n `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
4333, 37, 423anbi123d 1255 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) )  <->  ( ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) )
4443ralbidv 2731 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  (
n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  (
n `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) )
4530, 443anbi23d 1258 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD  /\  n : X --> RR  /\  A. x  e.  X  (
( ( n `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e.  X  ( n `  ( x G y ) )  <_  (
( n `  x
)  +  ( n `
 y ) ) ) )  <->  ( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD 
/\  N : X --> RR  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) ) )
4620, 29, 45eloprabg 6190 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  |  ( <. g ,  s
>.  e.  CVec OLD  /\  n : ran  g --> RR  /\  A. x  e.  ran  g
( ( ( n `
 x )  =  0  ->  x  =  (GId `  g ) )  /\  A. y  e.  CC  ( n `  ( y s x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( n `
 x ) )  /\  A. y  e. 
ran  g ( n `
 ( x g y ) )  <_ 
( ( n `  x )  +  ( n `  y ) ) ) ) }  <-> 
( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD  /\  N : X
--> RR  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) ) )
472, 46syl5bb 250 1  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  <->  ( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD 
/\  N : X --> RR  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y S x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x G y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962   <.cop 3841   class class class wbr 4237   ran crn 4908   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   {coprab 6111   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021    + caddc 9024    x. cmul 9026    <_ cle 9152   abscabs 12070  GIdcgi 21806   CVec OLDcvc 22055   NrmCVeccnv 22094
This theorem is referenced by:  isnv  22122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-nv 22102
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