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Theorem isnword 25986
Description: The words over a set  A. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 26-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnword  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( AdWords S )  <->  ( W  e.  ( A  ^m  (
1 ... S ) )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, W, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem isnword
Dummy variables  s 
a  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  ->  A  e.  _V )
3 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  ->  S  e.  NN0 )
4 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( A 
Words  S )  e.  _V
54rabex 4165 . . . . 5  |-  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  e.  _V
65a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  ->  { w  e.  ( A  Words  S )  | 
A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) }  e.  _V )
7 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
a  Words  s )  =  ( A  Words  s ) )
8 rabeq 2782 . . . . . 6  |-  ( ( a  Words  s )  =  ( A  Words  s )  ->  { w  e.  ( a  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  =  {
w  e.  ( A 
Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s ) A. y  e.  ( 1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  { w  e.  ( a  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  =  {
w  e.  ( A 
Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s ) A. y  e.  ( 1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
10 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A  Words  s )  =  ( A  Words  S ) )
11 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
1 ... s )  =  ( 1 ... S
) )
1211raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  (
1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <->  A. y  e.  (
1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) ) )
1311, 12raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  (
1 ... s ) A. y  e.  ( 1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <->  A. x  e.  (
1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) ) )
1410, 13rabeqbidv 2783 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { w  e.  ( A  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  =  {
w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
15 df-dwords 25985 . . . . 5  |- dWords  =  ( a  e.  _V , 
s  e.  NN0  |->  { w  e.  ( a  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) } )
169, 14, 15ovmpt2g 5982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  S  e.  NN0  /\  {
w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) }  e.  _V )  ->  ( AdWords S )  =  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) } )
172, 3, 6, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( AdWords S )  =  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
1817eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( AdWords S )  <->  W  e.  { w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } ) )
19 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  x )  =  ( W `  x ) )
20 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  y )  =  ( W `  y ) )
2119, 20neeq12d 2461 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y )  <->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) )
2221imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  ( W `  x
)  =/=  ( W `
 y ) ) ) )
23222ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  (
1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <->  A. x  e.  (
1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( W `  x
)  =/=  ( W `
 y ) ) ) )
2423elrab 2923 . . 3  |-  ( W  e.  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  <->  ( W  e.  ( A  Words  S )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) )
2524a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  {
w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) }  <->  ( W  e.  ( A  Words  S )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
26 isword 25983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( A  Words  S )  =  ( A  ^m  ( 1 ... S
) ) )
2726eleq2d 2350 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( A  Words  S )  <->  W  e.  ( A  ^m  ( 1 ... S
) ) ) )
2827anbi1d 685 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( ( W  e.  ( A  Words  S )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) )  <->  ( W  e.  ( A  ^m  (
1 ... S ) )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
2918, 25, 283bitrd 270 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( AdWords S )  <->  ( W  e.  ( A  ^m  (
1 ... S ) )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NN0cn0 9965   ...cfz 10782    Words cwrd 25981  dWordscdwords 25984
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-words 25982  df-dwords 25985
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