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Theorem isnword 26089
Description: The words over a set  A. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 26-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnword  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( AdWords S )  <->  ( W  e.  ( A  ^m  (
1 ... S ) )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, W, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem isnword
Dummy variables  s 
a  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  ->  A  e.  _V )
3 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  ->  S  e.  NN0 )
4 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( A 
Words  S )  e.  _V
54rabex 4181 . . . . 5  |-  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  e.  _V
65a1i 10 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  ->  { w  e.  ( A  Words  S )  | 
A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) }  e.  _V )
7 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
a  Words  s )  =  ( A  Words  s ) )
8 rabeq 2795 . . . . . 6  |-  ( ( a  Words  s )  =  ( A  Words  s )  ->  { w  e.  ( a  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  =  {
w  e.  ( A 
Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s ) A. y  e.  ( 1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  { w  e.  ( a  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  =  {
w  e.  ( A 
Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s ) A. y  e.  ( 1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
10 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A  Words  s )  =  ( A  Words  S ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
1 ... s )  =  ( 1 ... S
) )
1211raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  (
1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <->  A. y  e.  (
1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) ) )
1311, 12raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  (
1 ... s ) A. y  e.  ( 1 ... s ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <->  A. x  e.  (
1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) ) )
1410, 13rabeqbidv 2796 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { w  e.  ( A  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  =  {
w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
15 df-dwords 26088 . . . . 5  |- dWords  =  ( a  e.  _V , 
s  e.  NN0  |->  { w  e.  ( a  Words  s )  |  A. x  e.  ( 1 ... s
) A. y  e.  ( 1 ... s
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) } )
169, 14, 15ovmpt2g 5998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  S  e.  NN0  /\  {
w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) }  e.  _V )  ->  ( AdWords S )  =  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) } )
172, 3, 6, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( AdWords S )  =  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } )
1817eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( AdWords S )  <->  W  e.  { w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) } ) )
19 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  x )  =  ( W `  x ) )
20 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  y )  =  ( W `  y ) )
2119, 20neeq12d 2474 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y )  <->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) )
2221imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  ( W `  x
)  =/=  ( W `
 y ) ) ) )
23222ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  (
1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) )  <->  A. x  e.  (
1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( W `  x
)  =/=  ( W `
 y ) ) ) )
2423elrab 2936 . . 3  |-  ( W  e.  { w  e.  ( A  Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( w `  x )  =/=  (
w `  y )
) }  <->  ( W  e.  ( A  Words  S )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) )
2524a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  {
w  e.  ( A 
Words  S )  |  A. x  e.  ( 1 ... S ) A. y  e.  ( 1 ... S ) ( x  =/=  y  -> 
( w `  x
)  =/=  ( w `
 y ) ) }  <->  ( W  e.  ( A  Words  S )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
26 isword 26086 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( A  Words  S )  =  ( A  ^m  ( 1 ... S
) ) )
2726eleq2d 2363 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( A  Words  S )  <->  W  e.  ( A  ^m  ( 1 ... S
) ) ) )
2827anbi1d 685 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( ( W  e.  ( A  Words  S )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) )  <->  ( W  e.  ( A  ^m  (
1 ... S ) )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
2918, 25, 283bitrd 270 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  S  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( AdWords S )  <->  ( W  e.  ( A  ^m  (
1 ... S ) )  /\  A. x  e.  ( 1 ... S
) A. y  e.  ( 1 ... S
) ( x  =/=  y  ->  ( W `  x )  =/=  ( W `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754   NN0cn0 9981   ...cfz 10798    Words cwrd 26084  dWordscdwords 26087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-words 26085  df-dwords 26088
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