Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2 16326
 Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b
Assertion
Ref Expression
isnzr2 NzRing

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3
2 eqid 2435 . . 3
31, 2isnzr 16322 . 2 NzRing
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10
54, 1rngidcl 15676 . . . . . . . . 9
65adantr 452 . . . . . . . 8
74, 2rng0cl 15677 . . . . . . . . 9
87adantr 452 . . . . . . . 8
9 simpr 448 . . . . . . . 8
10 df-ne 2600 . . . . . . . . . 10
11 neeq1 2606 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl5bbr 251 . . . . . . . . 9
13 neeq2 2607 . . . . . . . . 9
1412, 13rspc2ev 3052 . . . . . . . 8
156, 8, 9, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7
1615ex 424 . . . . . 6
174, 1, 2rng1eq0 15694 . . . . . . . . 9
18173expb 1154 . . . . . . . 8
1918necon3bd 2635 . . . . . . 7
2019rexlimdvva 2829 . . . . . 6
2116, 20impbid 184 . . . . 5
22 fvex 5734 . . . . . . 7
234, 22eqeltri 2505 . . . . . 6
24 1sdom 7303 . . . . . 6
2523, 24ax-mp 8 . . . . 5
2621, 25syl6bbr 255 . . . 4
27 1onn 6874 . . . . . 6
28 sucdom 7296 . . . . . 6
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5
30 df-2o 6717 . . . . . 6
3130breq1i 4211 . . . . 5
3229, 31bitr4i 244 . . . 4
3326, 32syl6bb 253 . . 3
3433pm5.32i 619 . 2
353, 34bitri 241 1 NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  cvv 2948   class class class wbr 4204   csuc 4575  com 4837  cfv 5446  c1o 6709  c2o 6710   cdom 7099   csdm 7100  cbs 13461  c0g 13715  crg 15652  cur 15654  NzRingcnzr 16320 This theorem is referenced by:  opprnzr  16327  znfld  16833  znidomb  16834 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-nzr 16321
 Copyright terms: Public domain W3C validator