MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Unicode version

Theorem isnzr2 16015
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 16011 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1rngidcl 15361 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
74, 2rng0cl 15362 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
87adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
9 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
10 df-ne 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
11 neeq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y
) )
1210, 11syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( -.  x  =  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y ) )
13 neeq2 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
1412, 13rspc2ev 2892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
156, 8, 9, 14syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
174, 1, 2rng1eq0 15379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
18173expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
1918necon3bd 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2019rexlimdvva 2674 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2116, 20impbid 183 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
22 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
234, 22eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
24 1sdom 7065 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y
)
2621, 25syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  1o  ~<  B ) )
27 1onn 6637 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
28 sucdom 7058 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
30 df-2o 6480 . . . . . 6  |-  2o  =  suc  1o
3130breq1i 4030 . . . . 5  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
3229, 31bitr4i 243 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  B  <->  2o  ~<_  B )
3326, 32syl6bb 252 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  2o  ~<_  B ) )
3433pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
353, 34bitri 240 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   suc csuc 4394   omcom 4656   ` cfv 5255   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   1rcur 15339  NzRingcnzr 16009
This theorem is referenced by:  opprnzr  16016  znfld  16514  znidomb  16515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-nzr 16010
  Copyright terms: Public domain W3C validator