MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Unicode version

Theorem isnzr2 16326
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 16322 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1rngidcl 15676 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
74, 2rng0cl 15677 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
9 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
10 df-ne 2600 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
11 neeq1 2606 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y
) )
1210, 11syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( -.  x  =  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y ) )
13 neeq2 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
1412, 13rspc2ev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
156, 8, 9, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
1615ex 424 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
174, 1, 2rng1eq0 15694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
18173expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
1918necon3bd 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2019rexlimdvva 2829 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2116, 20impbid 184 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
22 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
234, 22eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
24 1sdom 7303 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( 1o  ~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y
)
2621, 25syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  1o  ~<  B ) )
27 1onn 6874 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
28 sucdom 7296 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
30 df-2o 6717 . . . . . 6  |-  2o  =  suc  1o
3130breq1i 4211 . . . . 5  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
3229, 31bitr4i 244 . . . 4  |-  ( 1o 
~<  B  <->  2o  ~<_  B )
3326, 32syl6bb 253 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  2o  ~<_  B ) )
3433pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
353, 34bitri 241 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   suc csuc 4575   omcom 4837   ` cfv 5446   1oc1o 6709   2oc2o 6710    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Ringcrg 15652   1rcur 15654  NzRingcnzr 16320
This theorem is referenced by:  opprnzr  16327  znfld  16833  znidomb  16834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-nzr 16321
  Copyright terms: Public domain W3C validator