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Theorem isocnv3 5829
Description: Complementation law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isocnv3.1  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
isocnv3.2  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
Assertion
Ref Expression
isocnv3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )

Proof of Theorem isocnv3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brxp 4720 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
2 isocnv3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
32breqi 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x C y  <->  x (
( A  X.  A
)  \  R )
y )
4 brdif 4071 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ( A  X.  A )  \  R
) y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
53, 4bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
65baib 871 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
71, 6sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x C y  <->  -.  x R y ) )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
9 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
10 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  e.  B )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y
)  e.  B )
1210, 11anim12dan 810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
)  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
13 brxp 4720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
1412, 13sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
159, 14sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
16 isocnv3.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
1716breqi 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( H `  x ) ( ( B  X.  B ) 
\  S ) ( H `  y ) )
18 brdif 4071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( ( B  X.  B )  \  S
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
1917, 18bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2019baib 871 . . . . . . 7  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2115, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
228, 21bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) )  <-> 
( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
23 notbi 286 . . . . 5  |-  ( ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2422, 23syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
25242ralbidva 2583 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2625pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  <->  ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <->  ( H `  x ) D ( H `  y ) ) ) )
27 df-isom 5264 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
28 df-isom 5264 . 2  |-  ( H 
Isom  C ,  D  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2926, 27, 283bitr4i 268 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256
This theorem is referenced by:  leiso  11397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264
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