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Theorem isocnv3 6054
Description: Complementation law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isocnv3.1  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
isocnv3.2  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
Assertion
Ref Expression
isocnv3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )

Proof of Theorem isocnv3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brxp 4911 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
2 isocnv3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( ( A  X.  A )  \  R
)
32breqi 4220 . . . . . . . . . 10  |-  ( x C y  <->  x (
( A  X.  A
)  \  R )
y )
4 brdif 4262 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ( A  X.  A )  \  R
) y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
53, 4bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( x C y  <->  ( x
( A  X.  A
) y  /\  -.  x R y ) )
65baib 873 . . . . . . . 8  |-  ( x ( A  X.  A
) y  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
71, 6sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x C y  <->  -.  x R y ) )
87adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x C y  <->  -.  x R y ) )
9 f1of 5676 . . . . . . . 8  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
10 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  e.  B )
11 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y
)  e.  B )
1210, 11anim12dan 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
)  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
13 brxp 4911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B ) )
1412, 13sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
159, 14sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y ) )
16 isocnv3.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( ( B  X.  B )  \  S
)
1716breqi 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( H `  x ) ( ( B  X.  B ) 
\  S ) ( H `  y ) )
18 brdif 4262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  x ) ( ( B  X.  B )  \  S
) ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
1917, 18bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  x ) D ( H `  y )  <->  ( ( H `  x )
( B  X.  B
) ( H `  y )  /\  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2019baib 873 . . . . . . 7  |-  ( ( H `  x ) ( B  X.  B
) ( H `  y )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2115, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
) D ( H `
 y )  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
228, 21bibi12d 314 . . . . 5  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) )  <-> 
( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
23 notbi 288 . . . . 5  |-  ( ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( -.  x R y  <->  -.  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2422, 23syl6rbbr 257 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
25242ralbidva 2747 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2625pm5.32i 620 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  <->  ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <->  ( H `  x ) D ( H `  y ) ) ) )
27 df-isom 5465 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
28 df-isom 5465 . 2  |-  ( H 
Isom  C ,  D  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x C y  <-> 
( H `  x
) D ( H `
 y ) ) ) )
2926, 27, 283bitr4i 270 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  C ,  D  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    \ cdif 3319   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456    Isom wiso 5457
This theorem is referenced by:  leiso  11710  gtiso  24090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465
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