Theorem isoeq1 3887

Description: Equality theorem for isomorphisms.

Assertion

Ref	Expression
isoeq1	|- (H = G -> (H Isom R, S (A, B) <-> G Isom R, S (A, B)))

Proof of Theorem isoeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq1 3684	. . 3 |- (H = G -> (H:A-1-1-onto->B <-> G:A-1-1-onto->B))
2		fveq1 3723	. . . . . 6 |- (H = G -> (H` x) = (G` x))
3		fveq1 3723	. . . . . 6 |- (H = G -> (H` y) = (G` y))
4	2, 3	breq12d 2631	. . . . 5 |- (H = G -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` x)S(G` y)))
5	4	bibi2d 618	. . . 4 |- (H = G -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> (xRy <-> (G` x)S(G` y))))
6	5	2ralbidv 1680	. . 3 |- (H = G -> (A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (G` x)S(G` y))))
7	1, 6	anbi12d 628	. 2 |- (H = G -> ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) <-> (G:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (G` x)S(G` y)))))
8		df-iso 3199	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
9		df-iso 3199	. 2 |- (G Isom R, S (A, B) <-> (G:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (G` x)S(G` y))))
10	7, 8, 9	3bitr4g 555	1 |- (H = G -> (H Isom R, S (A, B) <-> G Isom R, S (A, B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956  A.wral 1645   class class class wbr 2619  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182   Isom wiso 3183

This theorem is referenced by:  relogiso 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199

Copyright terms: Public domain