MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Unicode version

Theorem isohom 13674
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isohom.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isohom.i  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isohom.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isohom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isohom.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isohom  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isohom.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isohom.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isohom.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 isohom.i . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 13667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
8 isohom.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 13663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  C ) Y ) 
C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
10 dmss 4878 . . . 4  |-  ( ( X (Inv `  C
) Y )  C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) )  ->  dom  ( X
(Inv `  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
127, 11eqsstrd 3212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
13 dmxpss 5107 . 2  |-  dom  (
( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) 
C_  ( X H Y )
1412, 13syl6ss 3191 1  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219   Catccat 13566  Invcinv 13648    Iso ciso 13649
This theorem is referenced by:  ffthiso  13803  fuciso  13849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-sect 13650  df-inv 13651  df-iso 13652
  Copyright terms: Public domain W3C validator