MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Unicode version

Theorem isohom 13767
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isohom.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isohom.i  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isohom.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isohom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isohom.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isohom  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2358 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isohom.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isohom.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isohom.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 isohom.i . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 13760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
8 isohom.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 13756 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  C ) Y ) 
C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
10 dmss 4957 . . . 4  |-  ( ( X (Inv `  C
) Y )  C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) )  ->  dom  ( X
(Inv `  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
127, 11eqsstrd 3288 . 2  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
13 dmxpss 5186 . 2  |-  dom  (
( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) 
C_  ( X H Y )
1412, 13syl6ss 3267 1  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228    X. cxp 4766   dom cdm 4768   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239    Hom chom 13310   Catccat 13659  Invcinv 13741    Iso ciso 13742
This theorem is referenced by:  ffthiso  13896  fuciso  13942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-sect 13743  df-inv 13744  df-iso 13745
  Copyright terms: Public domain W3C validator