MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Unicode version

Theorem isohom 13952
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isohom.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isohom.i  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isohom.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isohom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isohom.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isohom  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2404 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isohom.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isohom.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isohom.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 isohom.i . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 13945 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
8 isohom.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 13941 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  C ) Y ) 
C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
10 dmss 5028 . . . 4  |-  ( ( X (Inv `  C
) Y )  C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) )  ->  dom  ( X
(Inv `  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
127, 11eqsstrd 3342 . 2  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
13 dmxpss 5259 . 2  |-  dom  (
( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) 
C_  ( X H Y )
1412, 13syl6ss 3320 1  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424    Hom chom 13495   Catccat 13844  Invcinv 13926    Iso ciso 13927
This theorem is referenced by:  ffthiso  14081  fuciso  14127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-sect 13928  df-inv 13929  df-iso 13930
  Copyright terms: Public domain W3C validator