MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isohom Structured version   Unicode version

Theorem isohom 14002
Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isohom.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isohom.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isohom.i  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isohom.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isohom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isohom.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isohom  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem isohom
StepHypRef Expression
1 isohom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isohom.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isohom.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isohom.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 isohom.i . . . 4  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
71, 2, 3, 4, 5, 6isoval 13995 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  dom  ( X (Inv `  C ) Y ) )
8 isohom.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
91, 2, 3, 4, 5, 8invss 13991 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X (Inv `  C ) Y ) 
C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
10 dmss 5072 . . . 4  |-  ( ( X (Inv `  C
) Y )  C_  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) )  ->  dom  ( X
(Inv `  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( X (Inv
`  C ) Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
127, 11eqsstrd 3384 . 2  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  dom  ( ( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) )
13 dmxpss 5303 . 2  |-  dom  (
( X H Y )  X.  ( Y H X ) ) 
C_  ( X H Y )
1412, 13syl6ss 3362 1  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474    Hom chom 13545   Catccat 13894  Invcinv 13976    Iso ciso 13977
This theorem is referenced by:  ffthiso  14131  fuciso  14177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-sect 13978  df-inv 13979  df-iso 13980
  Copyright terms: Public domain W3C validator