Theorem isoid 3901

Description: Identity law for isomorphism. Proposition 6.30(1) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isoid	|- (I |` A) Isom R, R (A, A)

Proof of Theorem isoid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 3205	. 2 |- ((I |` A) Isom R, R (A, A) <-> ((I |` A):A-1-1-onto->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y))))
2		f1oi 3723	. 2 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		fvresi 3849	. . . . 5 |- (x e. A -> ((I |` A)` x) = x)
4		fvresi 3849	. . . . 5 |- (y e. A -> ((I |` A)` y) = y)
5	3, 4	breqan12d 2637	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (((I |` A)` x)R((I |` A)` y) <-> xRy))
6	5	bicomd 523	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y)))
7	6	rgen2a 1702	. 2 |- A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y))
8	1, 2, 7	mpbir2an 732	1 |- (I |` A) Isom R, R (A, A)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648   class class class wbr 2624  Icid 2837   |` cres 3178  -1-1-onto->wf1o 3187  ` cfv 3188   Isom wiso 3189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-iso 3205

Copyright terms: Public domain