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Theorem isoini 6017
Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isoini  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3490 . . . 4  |-  ( y  e.  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
2 isof1o 6004 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
3 f1ofo 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -onto-> B )
4 forn 5615 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : A -onto-> B  ->  ran  H  =  B )
54eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -onto-> B  -> 
( y  e.  ran  H  <-> 
y  e.  B ) )
62, 3, 53syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e. 
ran  H  <->  y  e.  B
) )
7 f1ofn 5634 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Fn  A )
8 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( H  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  H  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
92, 7, 83syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e. 
ran  H  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
106, 9bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e.  B  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
11 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 D )  e. 
_V
12 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1312eliniseg 5192 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  D )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <->  y S
( H `  D
) ) )
1411, 13mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <-> 
y S ( H `
 D ) ) )
1510, 14anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
17 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
18 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
1918eliniseg 5192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( `' R " { D } )  <->  x R D ) )
2019anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x R D ) ) )
2117, 20syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x R D ) ) )
2221anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x R D )  /\  x H y ) ) )
23 anass 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R D )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  ( x R D  /\  x H y ) ) )
2422, 23syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x R D  /\  x H y ) ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x R D  /\  x H y ) ) ) )
26 isorel 6005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x R D  <->  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
272, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H  Fn  A
)
28 fnbrfvb 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( H `  x )  =  y  <-> 
x H y ) )
2928bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x H y  <-> 
( H `  x
)  =  y ) )
3027, 29sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x H y  <->  ( H `  x )  =  y ) )
3130adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x H y  <->  ( H `  x )  =  y ) )
3226, 31anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x ) S ( H `  D )  /\  ( H `  x )  =  y ) ) )
33 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
) S ( H `
 D )  /\  ( H `  x )  =  y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
34 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H `  x )  =  y  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 D )  <->  y S
( H `  D
) ) )
3534pm5.32i 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  ( H `  x ) S ( H `  D ) )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
3633, 35bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H `  x
) S ( H `
 D )  /\  ( H `  x )  =  y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
3732, 36syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
3837exp32 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) ) )
3938com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) ) )
4039imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4140pm5.32d 621 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( x R D  /\  x H y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4225, 41bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4342rexbidv2 2689 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y  <->  E. x  e.  A  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
44 r19.41v 2821 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
4543, 44syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y  <-> 
( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
4616, 45bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
471, 46syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
y  e.  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
4847abbi2dv 2519 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y } )
49 dfima2 5164 . 2  |-  ( H
" ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y }
5048, 49syl6reqr 2455 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279   {csn 3774   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414
This theorem is referenced by:  isoini2  6018  isoselem  6020  infxpenlem  7851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422
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