MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoini2 Unicode version

Theorem isoini2 5878
Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoini2.1  |-  C  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
isoini2.2  |-  D  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) )
Assertion
Ref Expression
isoini2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )

Proof of Theorem isoini2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5864 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of1 5509 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-> B )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  H : A -1-1-> B )
5 isoini2.1 . . . . 5  |-  C  =  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )
6 inss1 3423 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( `' R " { X } ) )  C_  A
75, 6eqsstri 3242 . . . 4  |-  C  C_  A
8 f1ores 5525 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C ) )
94, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
) )
10 isoini 5877 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { X } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) ) )
115imaeq2i 5047 . . . . 5  |-  ( H
" C )  =  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { X } ) ) )
12 isoini2.2 . . . . 5  |-  D  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  X ) } ) )
1310, 11, 123eqtr4g 2373 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H " C )  =  D )
14 f1oeq3 5503 . . . 4  |-  ( ( H " C )  =  D  ->  (
( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
)  <->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D
) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  (
( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( H " C
)  <->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D
) )
169, 15mpbid 201 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D )
17 df-isom 5301 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
1817simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
20 ssralv 3271 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
2120ralimdv 2656 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
227, 19, 21mpsyl 59 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
23 ssralv 3271 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
247, 22, 23mpsyl 59 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
25 fvres 5580 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  C  ->  (
( H  |`  C ) `
 x )  =  ( H `  x
) )
26 fvres 5580 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  C  ->  (
( H  |`  C ) `
 y )  =  ( H `  y
) )
2725, 26breqan12d 4075 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( ( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y )  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
2827bibi2d 309 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) )  <->  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
2928ralbidva 2593 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) )  <->  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )
3029ralbiia 2609 . . 3  |-  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x ) S ( ( H  |`  C ) `
 y ) )  <->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )
3124, 30sylibr 203 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <->  ( ( H  |`  C ) `  x ) S ( ( H  |`  C ) `
 y ) ) )
32 df-isom 5301 . 2  |-  ( ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D )  <-> 
( ( H  |`  C ) : C -1-1-onto-> D  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x R y  <-> 
( ( H  |`  C ) `  x
) S ( ( H  |`  C ) `  y ) ) ) )
3316, 31, 32sylanbrc 645 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  X  e.  A )  ->  ( H  |`  C )  Isom  R ,  S  ( C ,  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    i^i cin 3185    C_ wss 3186   {csn 3674   class class class wbr 4060   `'ccnv 4725    |` cres 4728   "cima 4729   -1-1->wf1 5289   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292    Isom wiso 5293
This theorem is referenced by:  fz1isolem  11446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301
  Copyright terms: Public domain W3C validator