Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoini2 Structured version   Unicode version

Theorem isoini2 6059
 Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoini2.1
isoini2.2
Assertion
Ref Expression
isoini2

Proof of Theorem isoini2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6045 . . . . . 6
2 f1of1 5673 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
43adantr 452 . . . 4
5 isoini2.1 . . . . 5
6 inss1 3561 . . . . 5
75, 6eqsstri 3378 . . . 4
8 f1ores 5689 . . . 4
94, 7, 8sylancl 644 . . 3
10 isoini 6058 . . . . 5
115imaeq2i 5201 . . . . 5
12 isoini2.2 . . . . 5
1310, 11, 123eqtr4g 2493 . . . 4
14 f1oeq3 5667 . . . 4
1513, 14syl 16 . . 3
169, 15mpbid 202 . 2
17 df-isom 5463 . . . . . . 7
1817simprbi 451 . . . . . 6
1918adantr 452 . . . . 5
20 ssralv 3407 . . . . . 6
2120ralimdv 2785 . . . . 5
227, 19, 21mpsyl 61 . . . 4
23 ssralv 3407 . . . 4
247, 22, 23mpsyl 61 . . 3
25 fvres 5745 . . . . . . 7
26 fvres 5745 . . . . . . 7
2725, 26breqan12d 4227 . . . . . 6
2827bibi2d 310 . . . . 5
2928ralbidva 2721 . . . 4
3029ralbiia 2737 . . 3
3124, 30sylibr 204 . 2
32 df-isom 5463 . 2
3316, 31, 32sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cin 3319   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212  ccnv 4877   cres 4880  cima 4881  wf1 5451  wf1o 5453  cfv 5454   wiso 5455 This theorem is referenced by:  fz1isolem  11710 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463
 Copyright terms: Public domain W3C validator