Theorem isopn 7856

Description: The defining property of an open set of a metric space.

Hypotheses

Ref	Expression
opnfval.1	|- X = dom dom D
opnfval.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
isopn	|- (D e. Met -> (A e. J <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,D,y   x,X,y

Proof of Theorem isopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnfval.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2		opnfval.2	. . . 4 |- J = (Open` D)
3	1, 2	opnfval 7854	. . 3 |- (D e. Met -> J = {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))})
4	3	eleq2d 1544	. 2 |- (D e. Met -> (A e. J <-> A e. {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))}))
5		dmexg 3364	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. V)
6		dmexg 3364	. . . . 5 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
8	7, 1	syl5eqel 1555	. . 3 |- (D e. Met -> X e. V)
9		sseq2 2086	. . . . . . 7 |- (z = A -> (y (_ z <-> y (_ A))
10	9	anbi2d 618	. . . . . 6 |- (z = A -> ((x e. y /\ y (_ z) <-> (x e. y /\ y (_ A)))
11	10	rexbidv 1667	. . . . 5 |- (z = A -> (E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z) <-> E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A)))
12	11	raleqd 1794	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z) <-> A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A)))
13	12	elssabg 2731	. . 3 |- (X e. V -> (A e. {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))
14	8, 13	syl 10	. 2 |- (D e. Met -> (A e. {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))
15	4, 14	bitrd 530	1 |- (D e. Met -> (A e. J <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  dom cdm 3176  ran crn 3177  ` cfv 3188  Metcme 7786   ball cbl 7788  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  opnm 7857  isopn4 7859  opnss 7860  opni 7861  blssopn 7864  opnuni 7865  opnin 7866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opn 7793

Copyright terms: Public domain