Theorem isopn2 7673

Description: A subset of the underlying set of a topology is open iff its complement is closed.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
isopn2	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))

Proof of Theorem isopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 2167	. . . 4 |- (X \ S) (_ X
2		iscld.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	2	iscld2 7670	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> (X \ (X \ S)) e. J))
4	1, 3	mpan2 696	. . 3 |- (J e. Top -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> (X \ (X \ S)) e. J))
5		dfss4 2242	. . . . 5 |- (S (_ X <-> (X \ (X \ S)) = S)
6	5	biimp 151	. . . 4 |- (S (_ X -> (X \ (X \ S)) = S)
7	6	eleq1d 1540	. . 3 |- (S (_ X -> ((X \ (X \ S)) e. J <-> S e. J))
8	4, 7	sylan9bb 540	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> S e. J))
9	8	bicomd 521	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   \ cdif 2044   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  Clsdccld 7660

This theorem is referenced by:  opncld 7674  iincld 7679  iscncl 7770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-cld 7663

Copyright terms: Public domain