Theorem isopn3 7697

Description: A subset is open iff it equals its own interior.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
isopn3	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> ((int` J)` S) = S))

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 |- X = U.J
2	1	ntrval 7676	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) = U.{x e. J | x (_ S})
3		unimax 2532	. . . 4 |- (S e. J -> U.{x e. J | x (_ S} = S)
4	2, 3	sylan9eq 1527	. . 3 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ S e. J) -> ((int` J)` S) = S)
5	4	ex 373	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J -> ((int` J)` S) = S))
6		eleq1 1534	. . 3 |- (((int` J)` S) = S -> (((int` J)` S) e. J <-> S e. J))
7	1	ntropn 7684	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) e. J)
8	6, 7	syl5cbi 209	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = S -> S e. J))
9	5, 8	impbid 516	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> ((int` J)` S) = S))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  intcnt 7661

This theorem is referenced by:  ntridm 7699  ntrtop 7701  ntr0 7710

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-top 7592  df-ntr 7664

Copyright terms: Public domain