MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Unicode version

Theorem isopn3i 16819
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 elssuni 3855 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_ 
U. J )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
43isopn3 16803 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
52, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S ) )
61, 5mpbid 201 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   intcnt 16754
This theorem is referenced by:  maxlp  16878  cnntr  17004  bcth2  18752  dvrec  19304  dvmptres  19312  dvcnvlem  19323  dvlip  19340  dvlipcn  19341  dvlip2  19342  dvne0  19358  lhop2  19362  lhop  19363  psercn  19802  dvlog  19998  dvlog2  20000  cxpcn3  20088  efrlim  20264  cvmlift2lem11  23844  cvmlift2lem12  23845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-ntr 16757
  Copyright terms: Public domain W3C validator