MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Unicode version

Theorem isopn3i 16835
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 elssuni 3871 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_ 
U. J )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
43isopn3 16819 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
52, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S ) )
61, 5mpbid 201 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   intcnt 16770
This theorem is referenced by:  maxlp  16894  cnntr  17020  bcth2  18768  dvrec  19320  dvmptres  19328  dvcnvlem  19339  dvlip  19356  dvlipcn  19357  dvlip2  19358  dvne0  19374  lhop2  19378  lhop  19379  psercn  19818  dvlog  20014  dvlog2  20016  cxpcn3  20104  efrlim  20280  cvmlift2lem11  23859  cvmlift2lem12  23860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-ntr 16773
  Copyright terms: Public domain W3C validator