MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopo Structured version   Unicode version

Theorem isopo 6058
Description: An isomorphism preserves partial ordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopo  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A 
<->  S  Po  B ) )

Proof of Theorem isopo
StepHypRef Expression
1 isocnv 6042 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isopolem 6057 . . 3  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( R  Po  A  ->  S  Po  B ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A  ->  S  Po  B
) )
4 isopolem 6057 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
53, 4impbid 184 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A 
<->  S  Po  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    Po wpo 4493   `'ccnv 4869    Isom wiso 5447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-po 4495  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455
  Copyright terms: Public domain W3C validator