MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopo Unicode version

Theorem isopo 6007
Description: An isomorphism preserves partial ordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopo  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A 
<->  S  Po  B ) )

Proof of Theorem isopo
StepHypRef Expression
1 isocnv 5991 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isopolem 6006 . . 3  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( R  Po  A  ->  S  Po  B ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A  ->  S  Po  B
) )
4 isopolem 6006 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
53, 4impbid 184 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( R  Po  A 
<->  S  Po  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    Po wpo 4444   `'ccnv 4819    Isom wiso 5397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-id 4441  df-po 4446  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405
  Copyright terms: Public domain W3C validator