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Theorem isopolem 5884
Description: Lemma for isopo 5885. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )

Proof of Theorem isopolem
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of 5510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
3 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  d  e.  A )  ->  ( H `  d
)  e.  B )
43ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( d  e.  A  ->  ( H `  d
)  e.  B ) )
5 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  e  e.  A )  ->  ( H `  e
)  e.  B )
65ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( e  e.  A  ->  ( H `  e
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  f  e.  A )  ->  ( H `  f
)  e.  B )
87ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( f  e.  A  ->  ( H `  f
)  e.  B ) )
94, 6, 83anim123d 1259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
101, 2, 93syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
1110imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( H `  d )  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) )
12 breq12 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( H `
 d )  /\  a  =  ( H `  d ) )  -> 
( a S a  <-> 
( H `  d
) S ( H `
 d ) ) )
1312anidms 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S a  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
1413notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  ( -.  a S a  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
15 breq1 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S b  <->  ( H `  d ) S b ) )
1615anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( a S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c ) ) )
17 breq1 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S c  <->  ( H `  d ) S c ) )
1816, 17imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c )  <->  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
1914, 18anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
20 breq2 4064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( H `  d
) S b  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
21 breq1 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
b S c  <->  ( H `  e ) S c ) )
2220, 21anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c ) ) )
2322imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
2423anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
25 breq2 4064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  e
) S c  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
2625anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
27 breq2 4064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  d
) S c  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
2826, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
2928anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3019, 24, 29rspc3v 2927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3111, 30syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
32 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
33 simpr1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  d  e.  A )
34 isorel 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  d  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3532, 33, 33, 34syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3635notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( -.  d R d  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
37 simpr2 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  e  e.  A )
38 isorel 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
3932, 33, 37, 38syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
40 simpr3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  f  e.  A )
41 isorel 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4232, 37, 40, 41syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4339, 42anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
d R e  /\  e R f )  <->  ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
44 isorel 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4532, 33, 40, 44syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4643, 45imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
4736, 46anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) )  <-> 
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) ) )
4831, 47sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) )
4948ex 423 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) ) )
5049com23 72 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) ) ) ) )
5150imp31 421 . . . 4  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  /\  ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A ) )  -> 
( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) )
5251ralrimivvva 2670 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5352ex 423 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R
d  /\  ( (
d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) ) )
54 df-po 4351 . 2  |-  ( S  Po  B  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) ) )
55 df-po 4351 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5653, 54, 553imtr4g 261 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   class class class wbr 4060    Po wpo 4349   -->wf 5288   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292    Isom wiso 5293
This theorem is referenced by:  isopo  5885  isosolem  5886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-id 4346  df-po 4351  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301
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