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Theorem isores2 6012
Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isores2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  R , 
( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( A ,  B
) )

Proof of Theorem isores2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 5633 . . . . . . . 8  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
2 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  e.  B )
32adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  x )  e.  B )
4 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( H `  y
)  e.  B )
54adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( H `  y )  e.  B )
6 brinxp 4899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  x
)  e.  B  /\  ( H `  y )  e.  B )  -> 
( ( H `  x ) S ( H `  y )  <-> 
( H `  x
) ( S  i^i  ( B  X.  B
) ) ( H `
 y ) ) )
73, 5, 6syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  x ) ( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( H `  y ) ) )
81, 7sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  x ) ( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( H `  y ) ) )
98anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  x ) ( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( H `  y ) ) )
109bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( x R y  <-> 
( H `  x
) ( S  i^i  ( B  X.  B
) ) ( H `
 y ) ) ) )
1110ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) ( S  i^i  ( B  X.  B
) ) ( H `
 y ) ) ) )
1211ralbidva 2682 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) ( S  i^i  ( B  X.  B
) ) ( H `
 y ) ) ) )
1312pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  <->  ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) ( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( H `  y ) ) ) )
14 df-isom 5422 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
15 df-isom 5422 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  ( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) ( S  i^i  ( B  X.  B
) ) ( H `
 y ) ) ) )
1613, 14, 153bitr4i 269 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
H  Isom  R , 
( S  i^i  ( B  X.  B ) ) ( A ,  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666    i^i cin 3279   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414
This theorem is referenced by:  isores1  6013  hartogslem1  7467  leiso  11663  icopnfhmeo  18921  iccpnfhmeo  18923  gtiso  24041  xrge0iifhmeo  24275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422
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