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Theorem isores3 5848
Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isores3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )

Proof of Theorem isores3
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5487 . . . . . . 7  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
2 f1ores 5503 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
32expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-> B  -> 
( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
) ) )
41, 3syl5 28 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
6 ssralv 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
76adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
8 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 a )  =  ( H `  a
) )
9 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  K  ->  (
( H  |`  K ) `
 b )  =  ( H `  b
) )
108, 9breqan12d 4054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  K  /\  b  e.  K )  ->  ( ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1110adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1211bibi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) )  <->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1312biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K
)  /\  b  e.  K )  ->  (
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
1413ralimdva 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
157, 14syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  C_  A  /\  a  e.  K )  ->  ( A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) )  ->  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
1615ralimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  K  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
175, 16syld 40 . . . . . 6  |-  ( K 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) )  ->  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <-> 
( ( H  |`  K ) `  a
) S ( ( H  |`  K ) `  b ) ) ) )
184, 17anim12d 546 . . . . 5  |-  ( K 
C_  A  ->  (
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )  ->  ( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K
)  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  ( a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) ) )
19 df-isom 5280 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
20 df-isom 5280 . . . . 5  |-  ( ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) )  <-> 
( ( H  |`  K ) : K -1-1-onto-> ( H " K )  /\  A. a  e.  K  A. b  e.  K  (
a R b  <->  ( ( H  |`  K ) `  a ) S ( ( H  |`  K ) `
 b ) ) ) )
2118, 19, 203imtr4g 261 . . . 4  |-  ( K 
C_  A  ->  ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) ) )
2221impcom 419 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  ( H " K ) ) )
23 isoeq5 5836 . . 3  |-  ( X  =  ( H " K )  ->  (
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  X )  <-> 
( H  |`  K ) 
Isom  R ,  S  ( K ,  ( H
" K ) ) ) )
2422, 23syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A )  ->  ( X  =  ( H " K )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) ) )
25243impia 1148 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  K  C_  A  /\  X  =  ( H " K
) )  ->  ( H  |`  K )  Isom  R ,  S  ( K ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    |` cres 4707   "cima 4708   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  7398  fpwwe2lem9  8276  efcvx  19841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280
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