Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isorhom Unicode version

Theorem isorhom 25314
Description: The predicate is an order homomorphism. (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isorhom.1  |-  X  =  ( Base `  A
)
isorhom.2  |-  Y  =  ( Base `  B
)
isorhom.3  |- &lea  =  ( le `  A )
isorhom.4  |- &leb  =  ( le `  B )
Assertion
Ref Expression
isorhom  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrHom  B )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) } )
Distinct variable groups:    a, b,
f, A    B, a,
b, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    C( f, a, b)    D( f, a, b)    X( a, b)    Y( a, b)   &lea ( f, a, b)   &leb ( f, a, b)

Proof of Theorem isorhom
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  _V )
2 elex 2809 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  _V )
3 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  A
) )
43oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  (
( Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  =  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  A ) ) )
53eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
a  e.  ( Base `  r )  <->  a  e.  ( Base `  A )
) )
63eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
b  e.  ( Base `  r )  <->  b  e.  ( Base `  A )
) )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  A  ->  ( le `  r )  =  ( le `  A
) )
87breqd 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  A  ->  (
a ( le `  r ) b  <->  a ( le `  A ) b ) )
98imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
( a ( le
`  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) )
106, 9imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( b  e.  (
Base `  r )  ->  ( a ( le
`  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  A
)  ->  ( a
( le `  A
) b  ->  (
f `  a )
( le `  s
) ( f `  b ) ) ) ) )
1110ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r ) b  -> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) )  <->  A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  -> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) ) ) )
125, 11imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( a  e.  (
Base `  r )  ->  A. b  e.  (
Base `  r )
( a ( le
`  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( a  e.  ( Base `  A
)  ->  A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) ) )
1312ralbidv2 2578 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  ( A. a  e.  ( Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r
) b  ->  (
f `  a )
( le `  s
) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) )
144, 13rabeqbidv 2796 . . 3  |-  ( r  =  A  ->  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. a  e.  ( Base `  r
) A. b  e.  ( Base `  r
) ( a ( le `  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) }  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  A
) )  |  A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) } )
15 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  B
) )
16 isorhom.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( Base `  B
)
1715, 16syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  s )  =  Y )
18 isorhom.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  A
)
1918eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  X
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  A )  =  X )
2117, 20oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( Base `  s )  ^m  ( Base `  A
) )  =  ( Y  ^m  X ) )
2220eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
a  e.  ( Base `  A )  <->  a  e.  X ) )
2320eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
b  e.  ( Base `  A )  <->  b  e.  X ) )
24 isorhom.3 . . . . . . . . . . . 12  |- &lea  =  ( le `  A )
2524eqcomi 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  A )  = &lea
2625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  A )  = &lea  )
2726breqd 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  B  ->  (
a ( le `  A ) b  <->  a&lea  b ) )
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  s )  =  ( le `  B
) )
29 isorhom.4 . . . . . . . . . . 11  |- &leb  =  ( le `  B )
3028, 29syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  s )  = &leb  )
3130breqd 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  B  ->  (
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b )  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) )
3227, 31imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
( a ( le
`  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) )
3323, 32imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
( b  e.  (
Base `  A )  ->  ( a ( le
`  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( b  e.  X  ->  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) ) )
3433ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  -> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) )  <->  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) )
3522, 34imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( a  e.  (
Base `  A )  ->  A. b  e.  (
Base `  A )
( a ( le
`  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( a  e.  X  ->  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) ) )
3635ralbidv2 2578 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  ( A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A
) b  ->  (
f `  a )
( le `  s
) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) )
3721, 36rabeqbidv 2796 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  A ) )  |  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) }  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) } )
38 df-orhom 25312 . . 3  |-  OrHom  =  ( r  e.  _V , 
s  e.  _V  |->  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. a  e.  ( Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r
) ( a ( le `  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) } )
39 ovex 5899 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4039rabex 4181 . . 3  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  ->  (
f `  a )&leb  ( f `  b ) ) }  e.  _V
4114, 37, 38, 40ovmpt2 5999 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  OrHom  B )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) } )
421, 2, 41syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrHom  B )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   lecple 13231    OrHom corhom 25310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-orhom 25312
  Copyright terms: Public domain W3C validator