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Theorem isorhom 25211
Description: The predicate is an order homomorphism. (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isorhom.1  |-  X  =  ( Base `  A
)
isorhom.2  |-  Y  =  ( Base `  B
)
isorhom.3  |- &lea  =  ( le `  A )
isorhom.4  |- &leb  =  ( le `  B )
Assertion
Ref Expression
isorhom  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrHom  B )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) } )
Distinct variable groups:    a, b,
f, A    B, a,
b, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    C( f, a, b)    D( f, a, b)    X( a, b)    Y( a, b)   &lea ( f, a, b)   &leb ( f, a, b)

Proof of Theorem isorhom
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  _V )
2 elex 2796 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  _V )
3 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  A
) )
43oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  (
( Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  =  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  A ) ) )
53eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
a  e.  ( Base `  r )  <->  a  e.  ( Base `  A )
) )
63eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
b  e.  ( Base `  r )  <->  b  e.  ( Base `  A )
) )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  A  ->  ( le `  r )  =  ( le `  A
) )
87breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  A  ->  (
a ( le `  r ) b  <->  a ( le `  A ) b ) )
98imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
( a ( le
`  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) )
106, 9imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( b  e.  (
Base `  r )  ->  ( a ( le
`  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  A
)  ->  ( a
( le `  A
) b  ->  (
f `  a )
( le `  s
) ( f `  b ) ) ) ) )
1110ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r ) b  -> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) )  <->  A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  -> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) ) ) )
125, 11imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( a  e.  (
Base `  r )  ->  A. b  e.  (
Base `  r )
( a ( le
`  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( a  e.  ( Base `  A
)  ->  A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) ) )
1312ralbidv2 2565 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  ( A. a  e.  ( Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r
) b  ->  (
f `  a )
( le `  s
) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) )
144, 13rabeqbidv 2783 . . 3  |-  ( r  =  A  ->  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. a  e.  ( Base `  r
) A. b  e.  ( Base `  r
) ( a ( le `  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) }  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  A
) )  |  A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) } )
15 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  B
) )
16 isorhom.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( Base `  B
)
1715, 16syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  s )  =  Y )
18 isorhom.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  A
)
1918eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  X
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  A )  =  X )
2117, 20oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( Base `  s )  ^m  ( Base `  A
) )  =  ( Y  ^m  X ) )
2220eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
a  e.  ( Base `  A )  <->  a  e.  X ) )
2320eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
b  e.  ( Base `  A )  <->  b  e.  X ) )
24 isorhom.3 . . . . . . . . . . . 12  |- &lea  =  ( le `  A )
2524eqcomi 2287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  A )  = &lea
2625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  A )  = &lea  )
2726breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  B  ->  (
a ( le `  A ) b  <->  a&lea  b ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  s )  =  ( le `  B
) )
29 isorhom.4 . . . . . . . . . . 11  |- &leb  =  ( le `  B )
3028, 29syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  s )  = &leb  )
3130breqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  B  ->  (
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b )  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) )
3227, 31imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
( a ( le
`  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) )
3323, 32imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
( b  e.  (
Base `  A )  ->  ( a ( le
`  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( b  e.  X  ->  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) ) )
3433ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  -> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) )  <->  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) )
3522, 34imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( a  e.  (
Base `  A )  ->  A. b  e.  (
Base `  A )
( a ( le
`  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( a  e.  X  ->  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) ) )
3635ralbidv2 2565 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  ( A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A
) b  ->  (
f `  a )
( le `  s
) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) )
3721, 36rabeqbidv 2783 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  A ) )  |  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) }  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) } )
38 df-orhom 25209 . . 3  |-  OrHom  =  ( r  e.  _V , 
s  e.  _V  |->  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. a  e.  ( Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r
) ( a ( le `  r ) b  ->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) } )
39 ovex 5883 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4039rabex 4165 . . 3  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  ->  (
f `  a )&leb  ( f `  b ) ) }  e.  _V
4114, 37, 38, 40ovmpt2 5983 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  OrHom  B )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) } )
421, 2, 41syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrHom  B )  =  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  ->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   lecple 13215    OrHom corhom 25207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-orhom 25209
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