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Theorem isoriso 25212
Description: Order isomorphisms. (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoriso.1  |-  X  =  ( Base `  A
)
isoriso.2  |-  Y  =  ( Base `  B
)
isoriso.3  |- &lea  =  ( le `  A )
isoriso.4  |- &leb  =  ( le `  B )
Assertion
Ref Expression
isoriso  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrIso  B )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) ) } )
Distinct variable groups:    a, b,
f, A    B, a,
b, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    C( f, a, b)    D( f, a, b)    X( a, b)    Y( a, b)   &lea ( f, a, b)   &leb ( f, a, b)

Proof of Theorem isoriso
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  _V )
2 elex 2796 . 2  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  _V )
3 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  A
) )
4 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  s
) )
5 f1oeq23 5466 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  r
)  =  ( Base `  A )  /\  ( Base `  s )  =  ( Base `  s
) )  ->  (
f : ( Base `  r ) -1-1-onto-> ( Base `  s
)  <->  f : (
Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  s ) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
f : ( Base `  r ) -1-1-onto-> ( Base `  s
)  <->  f : (
Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  s ) ) )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  A  ->  ( le `  r )  =  ( le `  A
) )
87breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
a ( le `  r ) b  <->  a ( le `  A ) b ) )
98bibi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( a ( le
`  r ) b  <-> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) )  <-> 
( a ( le
`  A ) b  <-> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) ) ) )
103, 9raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  A. b  e.  (
Base `  A )
( a ( le
`  A ) b  <-> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) ) ) )
113, 10raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  ( A. a  e.  ( Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r
) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) )
126, 11anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  A  ->  (
( f : (
Base `  r ) -1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  ( Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r
) ( a ( le `  r ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( f : ( Base `  A
)
-1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) ) )
1312abbidv 2397 . . 3  |-  ( r  =  A  ->  { f  |  ( f : ( Base `  r
)
-1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  (
Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  s
)  /\  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) } )
14 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  A )  =  ( Base `  A
) )
15 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  B
) )
16 f1oeq23 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  A
)  =  ( Base `  A )  /\  ( Base `  s )  =  ( Base `  B
) )  ->  (
f : ( Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  s
)  <->  f : (
Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  B ) ) )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
f : ( Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  s
)  <->  f : (
Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  B ) ) )
18 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  B  ->  ( le `  s )  =  ( le `  B
) )
1918breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b )  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) )
2019bibi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
( a ( le
`  A ) b  <-> 
( f `  a
) ( le `  s ) ( f `
 b ) )  <-> 
( a ( le
`  A ) b  <-> 
( f `  a
) ( le `  B ) ( f `
 b ) ) ) )
21202ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A
) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) ) )
2217, 21anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( f : (
Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) )  <->  ( f : ( Base `  A
)
-1-1-onto-> ( Base `  B )  /\  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) ) ) )
2322abbidv 2397 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  { f  |  ( f : ( Base `  A
)
-1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  B
)  /\  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) ) } )
24 isoriso.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  A
)
2524eqcomi 2287 . . . . . . 7  |-  ( Base `  A )  =  X
26 isoriso.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( Base `  B
)
2726eqcomi 2287 . . . . . . 7  |-  ( Base `  B )  =  Y
28 f1oeq23 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  A
)  =  X  /\  ( Base `  B )  =  Y )  ->  (
f : ( Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  B
)  <->  f : X -1-1-onto-> Y
) )
2925, 27, 28mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( f : ( Base `  A
)
-1-1-onto-> ( Base `  B )  <->  f : X -1-1-onto-> Y )
3025eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( Base `  A
)  <->  a  e.  X
)
3125eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( Base `  A
)  <->  b  e.  X
)
32 isoriso.3 . . . . . . . . . . . . 13  |- &lea  =  ( le `  A )
3332eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  A )  = &lea
3433breqi 4029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a ( le `  A
) b  <->  a&lea  b )
35 isoriso.4 . . . . . . . . . . . . 13  |- &leb  =  ( le `  B )
3635eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  B )  = &leb
3736breqi 4029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  a ) ( le `  B
) ( f `  b )  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
)
3834, 37bibi12i 306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) )  <->  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) )
3931, 38imbi12i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ( Base `  A )  ->  (
a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) )  <->  ( b  e.  X  ->  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) )
4039ralbii2 2571 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A
) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) )  <->  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) )
4130, 40imbi12i 316 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  ( Base `  A )  ->  A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) )  <->  ( a  e.  X  ->  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) )
4241ralbii2 2571 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  ( Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) )
4329, 42anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( f : ( Base `  A ) -1-1-onto-> ( Base `  B
)  /\  A. a  e.  ( Base `  A
) A. b  e.  ( Base `  A
) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) )  <->  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) )
4443abbii 2395 . . . 4  |-  { f  |  ( f : ( Base `  A
)
-1-1-onto-> ( Base `  B )  /\  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  B ) ( f `  b ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) }
4523, 44syl6eq 2331 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  { f  |  ( f : ( Base `  A
)
-1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  (
Base `  A ) A. b  e.  ( Base `  A ) ( a ( le `  A ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) } )
46 df-oriso 25210 . . 3  |-  OrIso  =  ( r  e.  _V , 
s  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( Base `  r
)
-1-1-onto-> ( Base `  s )  /\  A. a  e.  (
Base `  r ) A. b  e.  ( Base `  r ) ( a ( le `  r ) b  <->  ( f `  a ) ( le
`  s ) ( f `  b ) ) ) } )
47 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  A )  e.  _V
4824, 47eqeltri 2353 . . . 4  |-  X  e. 
_V
49 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  B )  e.  _V
5026, 49eqeltri 2353 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
51 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( f : X -1-1-onto-> Y  ->  f : X
--> Y )
5251adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) )  ->  f : X --> Y )
5352pm4.71ri 614 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) )  <->  ( f : X --> Y  /\  (
f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) ) )
5453abbii 2395 . . . 4  |-  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  (
f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  (
f `  b )
) ) ) }
5548, 50, 54fabex 5423 . . 3  |-  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) }  e.  _V
5613, 45, 46, 55ovmpt2 5983 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  OrIso  B )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) ) } )
571, 2, 56syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrIso  B )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215    OrIso coriso 25208
This theorem is referenced by:  isoriso2  25213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-oriso 25210
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