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Theorem isoriso2 25213
Description: Order isomorphisms. (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isoriso.1  |-  X  =  ( Base `  A
)
isoriso.2  |-  Y  =  ( Base `  B
)
isoriso.3  |- &lea  =  ( le `  A )
isoriso.4  |- &leb  =  ( le `  B )
Assertion
Ref Expression
isoriso2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  E )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( F `  a )&leb  ( F `  b )
) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    B, a, b    F, a, b    X, b
Allowed substitution hints:    C( a, b)    D( a, b)    E( a, b)    X( a)    Y( a, b)   &lea ( a, b)   &leb ( a, b)

Proof of Theorem isoriso2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isoriso.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  A
)
2 isoriso.2 . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  B
)
3 isoriso.3 . . . . 5  |- &lea  =  ( le `  A )
4 isoriso.4 . . . . 5  |- &leb  =  ( le `  B )
51, 2, 3, 4isoriso 25212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  OrIso  B )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) ) } )
653adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  E )  ->  ( A  OrIso  B )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) ) } )
76eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  E )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) ) } ) )
8 f1oeq1 5463 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
9 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  a )  =  ( F `  a ) )
10 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  b )  =  ( F `  b ) )
119, 10breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  a
)&leb  ( f `  b )  <->  ( F `  a )&leb  ( F `  b )
) )
1211bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) )  <->  ( a&lea  b  <-> 
( F `  a
)&leb  ( F `  b ) ) ) )
13122ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( F `  a )&leb  ( F `  b ) ) ) )
148, 13anbi12d 691 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <->  ( f `  a )&leb  ( f `  b ) ) )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( F `  a
)&leb  ( F `  b ) ) ) ) )
1514elabg 2915 . . 3  |-  ( F  e.  E  ->  ( F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) }  <->  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( F `  a
)&leb  ( F `  b ) ) ) ) )
16153ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  E )  ->  ( F  e.  {
f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( f `  a
)&leb  ( f `  b ) ) ) }  <->  ( F : X
-1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a&lea  b  <-> 
( F `  a
)&leb  ( F `  b ) ) ) ) )
177, 16bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  F  e.  E )  ->  ( F  e.  ( A  OrIso  B )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a&lea  b  <->  ( F `  a )&leb  ( F `  b )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   class class class wbr 4023   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215    OrIso coriso 25208
This theorem is referenced by:  oriso  25214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-oriso 25210
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