MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem1 Unicode version

Theorem isosctrlem1 20134
Description: Lemma for isosctr 20137. (Contributed by Saveliy Skresanov, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )

Proof of Theorem isosctrlem1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2 subcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
31, 2mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  e.  CC )
5 subeq0 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
65notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -.  ( 1  -  A )  =  0  <->  -.  1  =  A ) )
71, 6mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  ( 1  -  A
)  =  0  <->  -.  1  =  A )
)
87biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
9 biid 227 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  ( 1  -  A )  =  0 )
109necon3bbii 2490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( 1  -  A
)  =  0  <->  (
1  -  A )  =/=  0 )
118, 10sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  =/=  0 )
12 logcl 19942 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
134, 11, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( log `  ( 1  -  A
) )  e.  CC )
1413imcld 11696 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( Im `  ( log `  (
1  -  A ) ) )  e.  RR )
15143adant2 974 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
1633ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
17113adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
18 releabs 11821 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  <_  ( abs `  A
) )
1918adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  ( abs `  A ) )
20 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( Re `  A
)  <_  ( abs `  A )  <->  ( Re `  A )  <_  1
) )
2120adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( Re `  A )  <_  ( abs `  A )  <->  ( Re `  A )  <_  1
) )
2219, 21mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  1 )
23 recl 11611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2423recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
2524subidd 9161 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  A ) )  =  0 )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( ( Re `  A )  -  (
Re `  A )
)  =  0 )
27 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  ->  A  e.  CC )
2827recld 11695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
29 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
3029a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
1  e.  RR )
31 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( Re `  A
)  <_  1 )
3228, 30, 28, 31lesub1dd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
( ( Re `  A )  -  (
Re `  A )
)  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
3326, 32eqbrtrrd 4061 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  <_  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
3422, 33syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
35 resub 11628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  A ) ) )
36 re1 11655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  1 )  =  1
3736oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  A ) )  =  ( 1  -  (
Re `  A )
)
3835, 37syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
391, 38mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( 1  -  A ) )  =  ( 1  -  (
Re `  A )
) )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( Re `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  A ) ) )
4134, 40breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
42413adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )
43 argrege0 19981 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
44 pire 19848 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
45 2re 9831 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
46 2ne0 9845 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
4744, 45, 46redivcli 9543 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4847renegcli 9124 . . . . . . . 8  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
49 rexr 8893 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( pi  /  2
)  e.  RR  ->  -u ( pi  /  2
)  e.  RR* )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
51 rexr 8893 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
5247, 51ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
53 iccleub 10723 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  (
Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
5450, 52, 53mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  A
) ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
5543, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( 1  -  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
5616, 17, 42, 55syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 ) )
57 pipos 19849 . . . . . 6  |-  0  <  pi
5844, 57elrpii 10373 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
59 rphalflt 10396 . . . . 5  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6058, 59ax-mp 8 . . . 4  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
6156, 60jctir 524 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  /  2 )  /\  (
pi  /  2 )  <  pi ) )
6244a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  pi  e.  RR )
6362rehalfcld 9974 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( pi  /  2 )  e.  RR )
64 lelttr 8928 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  /  2 )  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi ) )
6514, 63, 62, 64syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( (
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <_  ( pi  / 
2 )  /\  (
pi  /  2 )  <  pi )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi ) )
66653adant2 974 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( ( Im
`  ( log `  (
1  -  A ) ) )  <_  (
pi  /  2 )  /\  ( pi  / 
2 )  <  pi )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi ) )
6761, 66mpd 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  <  pi )
6815, 67ltned 8971 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   [,]cicc 10675   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   picpi 12364   logclog 19928
This theorem is referenced by:  isosctrlem2  20135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
  Copyright terms: Public domain W3C validator