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Theorem isosctrlem2 20135
Description: Lemma for isosctr 20137. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem isosctrlem2
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
21a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
3 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
42, 3negsubd 9179 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  +  -u A )  =  ( 1  -  A ) )
5 1rp 10374 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
7 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -.  1  =  A
)
8 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  1 )
92, 3, 2sub32d 9205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  =  ( ( 1  -  1 )  -  A ) )
10 1m1e0 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1110oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  -  1 )  -  A )  =  ( 0  -  A
)
12 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
1311, 12eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  1 )  -  A )  = 
-u A
149, 13syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  =  -u A
)
151a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  1  e.  CC )
16 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  A  e.  CC )
1715, 16subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  CC )
19 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
201, 19mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  <->  1  =  A ) )
2120biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  A
)  =  0  -> 
1  =  A ) )
2221con3and 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
23 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  -.  (
1  -  A )  =  0 )
2422, 23sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  1  =  A
)  ->  ( 1  -  A )  =/=  0 )
25243adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  =/=  0 )
2718, 26recrecd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( 1  -  A ) )
2815, 17, 25div2negd 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) )  =  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u 1  /  -u (
1  -  A ) )  =  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
3016negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u A  e.  CC )
3130, 17, 25cjdivd 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( ( * `  -u A
)  /  ( * `
 ( 1  -  A ) ) ) )
3216cjnegd 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  -u A
)  =  -u (
* `  A )
)
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  0
) )
34 abs0 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( abs `  0 )  =  0
3533, 34syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A  =  0  ->  ( abs `  A )  =  0 )
36 eqtr2 2314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  ( abs `  A
)  =  0 )  ->  1  =  0 )
3735, 36sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  A  =  0 )  ->  1  =  0 )
38 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  =/=  0
39 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 1  =/=  0  ->  1  =/=  0 )
4039neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 1  =/=  0  ->  -.  1  =  0 )
4138, 40mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( abs `  A
)  =  1  /\  A  =  0 )  ->  -.  1  = 
0 )
4237, 41pm2.65da 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  -.  A  =  0 )
4342adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  ->  -.  A  =  0
)
44 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  =/=  0  <->  -.  A  =  0 )
45 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
46 sq1 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4745, 46syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  1 )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  1 )
49 absvalsq 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5148, 50eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  =  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
52513adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  1  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5352oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  /  A ) )
54 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
5554cjcld 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
56 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
5755, 54, 56divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( A  x.  (
* `  A )
)  /  A )  =  ( * `  A ) )
5853, 57eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( * `  A ) )
5944, 58syl3an3br 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  A  =  0 )  ->  ( 1  /  A )  =  ( * `  A ) )
6043, 59mpd3an3 1278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( * `
 A ) )
6160eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
62613adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
6362negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u ( * `  A )  =  -u ( 1  /  A
) )
6432, 63eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  -u A
)  =  -u (
1  /  A ) )
6564oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( * `  -u A )  /  (
* `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u (
1  /  A )  /  ( * `  ( 1  -  A
) ) ) )
66 cjsub 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =  ( ( * `  1 )  -  ( * `  A ) ) )
671, 66mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( 1  -  A ) )  =  ( ( * ` 
1 )  -  (
* `  A )
) )
68 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  RR
6968a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  RR )
7069cjred 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  1 )  =  1 )
7170oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  1
)  -  ( * `
 A ) )  =  ( 1  -  ( * `  A
) ) )
7267, 71eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( 1  -  A ) )  =  ( 1  -  (
* `  A )
) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( * `  A ) ) )
7461oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( 1  -  (
* `  A )
)  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
7573, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
76753adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
7776oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( * `  (
1  -  A ) ) )  =  (
-u ( 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
7831, 65, 773eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u ( 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
79423ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  -.  A  =  0 )
8079, 44sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  A  =/=  0 )
811a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
1  e.  CC )
82 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
83 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
8481, 82, 83divnegd 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u ( 1  /  A
)  =  ( -u
1  /  A ) )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u ( 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( (
-u 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
8616, 80, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( 1  -  (
1  /  A ) ) )  =  ( ( -u 1  /  A )  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
8715negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u 1  e.  CC )
8887, 16, 80divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  /  A )  e.  CC )
8916, 80reccld 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
9015, 89subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  (
1  /  A ) )  e.  CC )
9117, 25cjne0d 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
9276, 91eqnetrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  -  (
1  /  A ) )  =/=  0 )
9388, 90, 16, 92, 80divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  ( -u 1  /  A
) )  /  ( A  x.  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )  =  ( (
-u 1  /  A
)  /  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )
9487, 16, 80divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  ( -u 1  /  A ) )  =  -u 1
)
9516, 15, 89subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( ( A  x.  1 )  -  ( A  x.  ( 1  /  A
) ) ) )
9616mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
9716, 80recidd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  /  A ) )  =  1 )
9896, 97oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  1 )  -  ( A  x.  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  -  1 ) )
9995, 98eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  x.  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  -  1 ) )
10094, 99oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( ( A  x.  ( -u 1  /  A
) )  /  ( A  x.  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) ) )  =  ( -u
1  /  ( A  -  1 ) ) )
10186, 93, 1003eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u ( 1  /  A )  / 
( 1  -  (
1  /  A ) ) )  =  (
-u 1  /  ( A  -  1 ) ) )
102 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
103102negnegd 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u -u ( A  - 
1 )  =  ( A  -  1 ) )
104 negsubdi2 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
105104negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u -u ( A  - 
1 )  =  -u ( 1  -  A
) )
106103, 105eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  =  -u (
1  -  A ) )
10716, 15, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( A  -  1 )  =  -u (
1  -  A ) )
108107oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u 1  / 
( A  -  1 ) )  =  (
-u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )
10978, 101, 1083eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u
1  /  -u (
1  -  A ) ) )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u
1  /  -u (
1  -  A ) ) )
11130, 17, 25divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
113 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )
114112, 113reim0bd 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  RR )
115114cjred 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )
116115, 114eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( * `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
117110, 116eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u 1  /  -u (
1  -  A ) )  e.  RR )
11829, 117eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  RR )
11917, 25recne0d 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
120119adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
121118, 120rereccld 9603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
12227, 121eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  RR )
12368a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  RR )
124122, 123resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( 1  -  A )  -  1 )  e.  RR )
12514, 124eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -u A  e.  RR )
1263, 125negrebd 9172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
127126absord 11914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A ) )
128 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  A  <->  1  =  A ) )
129128biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  A  -> 
1  =  A ) )
130 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  <->  1  =  -u A ) )
131130biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  =  -u A  ->  1  =  -u A
) )
132129, 131orim12d 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( ( abs `  A
)  =  A  \/  ( abs `  A )  =  -u A )  -> 
( 1  =  A  \/  1  =  -u A ) ) )
1338, 127, 132sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  =  A  \/  1  =  -u A ) )
134133ord 366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -.  1  =  A  ->  1  =  -u A ) )
1357, 134mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  -u A
)
136135, 6eqeltrrd 2371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  ->  -u A  e.  RR+ )
1376, 136rpaddcld 10421 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  +  -u A )  e.  RR+ )
1384, 137eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  A
)  e.  RR+ )
139138relogcld 19990 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  e.  RR )
140139reim0d 11726 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )
141136, 138rpdivcld 10423 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  RR+ )
142141relogcld 19990 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
143142reim0d 11726 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  0 )
144140, 143eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
145 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
14617, 25, 145syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
147146adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  e.  CC )
148147imcld 11696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  RR )
149148recnd 8877 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
150111adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
15116, 80negne0d 9171 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u A  =/=  0
)
15230, 17, 151, 25divne0d 9568 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  =/=  0
)
153152adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( -u A  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )
154 logcl 19942 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC  /\  ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  =/=  0
)  ->  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) )  e.  CC )
155150, 153, 154syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
156155imcld 11696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  e.  RR )
157156recnd 8877 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  e.  CC )
158109fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( log `  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) ) ) )
159158adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( log `  ( -u 1  /  -u ( 1  -  A
) ) ) )
160 logcj 19976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  / 
( 1  -  A
) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
161111, 160sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
16217, 25reccld 9545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  CC )
163 logcl 19942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  (
1  -  A ) )  e.  CC  /\  ( 1  /  (
1  -  A ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
164162, 119, 163syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  e.  CC )
165164negnegd 9164 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u -u ( log `  (
1  /  ( 1  -  A ) ) )  =  ( log `  ( 1  /  (
1  -  A ) ) ) )
166 isosctrlem1 20134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )
167 logrec 20133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( 1  -  A
)  =/=  0  /\  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =/=  pi )  -> 
( log `  (
1  -  A ) )  =  -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
16817, 25, 166, 167syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  (
1  -  A ) )  =  -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
169168negeqd 9062 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  -> 
-u ( log `  (
1  -  A ) )  =  -u -u ( log `  ( 1  / 
( 1  -  A
) ) ) )
17028fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  ( log `  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) ) )
171165, 169, 1703eqtr4rd 2339 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )
172171adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( -u 1  /  -u (
1  -  A ) ) )  =  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )
173159, 161, 1723eqtr3rd 2337 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  -u ( log `  (
1  -  A ) )  =  ( * `
 ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
174173fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( * `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) ) )
175147imnegd 11711 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  -u ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) ) )
176155imcjd 11706 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )  =  -u (
Im `  ( log `  ( -u A  / 
( 1  -  A
) ) ) ) )
177174, 175, 1763eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  ->  -u ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
178149, 157, 177neg11d 9185 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  =  1  /\ 
-.  1  =  A )  /\  ( Im
`  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
179144, 178pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =  1  /\  -.  1  =  A )  ->  ( Im `  ( log `  ( 1  -  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( -u A  /  ( 1  -  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   ^cexp 11120   *ccj 11597   Imcim 11599   abscabs 11735   picpi 12364   logclog 19928
This theorem is referenced by:  isosctrlem3  20136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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