Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoval Structured version   Unicode version

Theorem isoval 13982
 Description: The inverse relation is a function, which is to say that every morphism has at most one inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b
invfval.n Inv
invfval.c
invfval.x
invfval.y
isoval.n
Assertion
Ref Expression
isoval

Proof of Theorem isoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isoval.n . . . 4
2 invfval.c . . . . 5
3 fveq2 5720 . . . . . . . 8 Inv Inv
4 invfval.n . . . . . . . 8 Inv
53, 4syl6eqr 2485 . . . . . . 7 Inv
65coeq2d 5027 . . . . . 6 Inv
7 df-iso 13967 . . . . . 6 Inv
8 funmpt 5481 . . . . . . 7
9 fvex 5734 . . . . . . . 8 Inv
104, 9eqeltri 2505 . . . . . . 7
11 cofunexg 5951 . . . . . . 7
128, 10, 11mp2an 654 . . . . . 6
136, 7, 12fvmpt 5798 . . . . 5
142, 13syl 16 . . . 4
151, 14syl5eq 2479 . . 3
1615oveqd 6090 . 2
17 eqid 2435 . . . . . 6 Sect Sect Sect Sect
18 ovex 6098 . . . . . . 7 Sect
1918inex1 4336 . . . . . 6 Sect Sect
2017, 19fnmpt2i 6412 . . . . 5 Sect Sect
21 invfval.b . . . . . . 7
22 invfval.x . . . . . . 7
23 invfval.y . . . . . . 7
24 eqid 2435 . . . . . . 7 Sect Sect
2521, 4, 2, 22, 23, 24invffval 13975 . . . . . 6 Sect Sect
2625fneq1d 5528 . . . . 5 Sect Sect
2720, 26mpbiri 225 . . . 4
28 opelxpi 4902 . . . . 5
2922, 23, 28syl2anc 643 . . . 4
30 fvco2 5790 . . . 4
3127, 29, 30syl2anc 643 . . 3
32 df-ov 6076 . . 3
33 ovex 6098 . . . . 5
34 dmeq 5062 . . . . . 6
35 eqid 2435 . . . . . 6
3633dmex 5124 . . . . . 6
3734, 35, 36fvmpt 5798 . . . . 5
3833, 37ax-mp 8 . . . 4
39 df-ov 6076 . . . . 5
4039fveq2i 5723 . . . 4
4138, 40eqtr3i 2457 . . 3
4231, 32, 413eqtr4g 2492 . 2
4316, 42eqtrd 2467 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cin 3311  cop 3809   cmpt 4258   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870   ccom 4874   wfun 5440   wfn 5441  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cbs 13461  ccat 13881  Sectcsect 13962  Invcinv 13963   ciso 13964 This theorem is referenced by:  inviso1  13983  invf  13985  invco  13988  isohom  13989  oppciso  13994  funciso  14063  ffthiso  14118  fuciso  14164  setciso  14238  catciso  14254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-inv 13966  df-iso 13967
 Copyright terms: Public domain W3C validator