Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ispautN Unicode version

Theorem ispautN 30264
Description: The predictate "is a projective automorphism." (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
ispautN  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, K    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    K( y)    M( x, y)

Proof of Theorem ispautN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pautset.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
2 pautset.m . . . 4  |-  M  =  ( PAut `  K
)
31, 2pautsetN 30263 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
43eleq2d 2447 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } ) )
5 f1of 5607 . . . . 5  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F : S
--> S )
6 fvex 5675 . . . . . 6  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2450 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
8 fex 5901 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> S  /\  S  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 644 . . . 4  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F  e.  _V )
109adantr 452 . . 3  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )  ->  F  e.  _V )
11 f1oeq1 5598 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : S -1-1-onto-> S  <->  F : S
-1-1-onto-> S ) )
12 fveq1 5660 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5660 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13sseq12d 3313 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  C_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
1514bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) )  <->  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
16152ralbidv 2684 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
1711, 16anbi12d 692 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
1810, 17elab3 3025 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
194, 18syl6bb 253 1  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366   A.wral 2642   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   -->wf 5383   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387   PSubSpcpsubsp 29661   PAutcpautN 30152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-map 6949  df-pautN 30156
  Copyright terms: Public domain W3C validator