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Theorem ispautN 30910
Description: The predictate "is a projective automorphism." (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
ispautN  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, K    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    K( y)    M( x, y)

Proof of Theorem ispautN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pautset.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
2 pautset.m . . . 4  |-  M  =  ( PAut `  K
)
31, 2pautsetN 30909 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
43eleq2d 2363 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } ) )
5 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F : S
--> S )
6 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2366 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
8 fex 5765 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> S  /\  S  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 643 . . . 4  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F  e.  _V )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )  ->  F  e.  _V )
11 f1oeq1 5479 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : S -1-1-onto-> S  <->  F : S
-1-1-onto-> S ) )
12 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13sseq12d 3220 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  C_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
1514bibi2d 309 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) )  <->  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
16152ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
1810, 17elab3 2934 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
194, 18syl6bb 252 1  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   PSubSpcpsubsp 30307   PAutcpautN 30798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-pautN 30802
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