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Theorem ispautN 30288
Description: The predictate "is a projective automorphism." (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
ispautN  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, K    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    K( y)    M( x, y)

Proof of Theorem ispautN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pautset.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
2 pautset.m . . . 4  |-  M  =  ( PAut `  K
)
31, 2pautsetN 30287 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
43eleq2d 2350 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } ) )
5 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F : S
--> S )
6 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2353 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
8 fex 5749 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> S  /\  S  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 643 . . . 4  |-  ( F : S -1-1-onto-> S  ->  F  e.  _V )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )  ->  F  e.  _V )
11 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : S -1-1-onto-> S  <->  F : S
-1-1-onto-> S ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  C_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
1514bibi2d 309 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) )  <->  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
16152ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
1810, 17elab3 2921 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) )
194, 18syl6bb 252 1  |-  ( K  e.  B  ->  ( F  e.  M  <->  ( F : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   PSubSpcpsubsp 29685   PAutcpautN 30176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-pautN 30180
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