MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperf3 Unicode version

Theorem isperf3 17175
Description: A perfect space is a topology which has no open singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isperf3  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem isperf3
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21isperf2 17174 . 2  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\  X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X ) ) )
3 dfss3 3302 . . . 4  |-  ( X 
C_  ( ( limPt `  J ) `  X
)  <->  A. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X ) )
41maxlp 17169 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  X )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  {
x }  e.  J
) ) )
54baibd 876 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  X )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { x }  e.  J )
)
65ralbidva 2686 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
73, 6syl5bb 249 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X
)  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
87pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X
) )  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
92, 8bitri 241 1  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670    C_ wss 3284   {csn 3778   U.cuni 3979   ` cfv 5417   Topctop 16917   limPtclp 17157  Perfcperf 17158
This theorem is referenced by:  perfi  17177  perfopn  17207  t1conperf  17456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-top 16922  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-lp 17159  df-perf 17160
  Copyright terms: Public domain W3C validator