MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperf3 Structured version   Unicode version

Theorem isperf3 17248
Description: A perfect space is a topology which has no open singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isperf3  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem isperf3
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21isperf2 17247 . 2  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\  X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X ) ) )
3 dfss3 3324 . . . 4  |-  ( X 
C_  ( ( limPt `  J ) `  X
)  <->  A. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X ) )
41maxlp 17242 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  X )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  {
x }  e.  J
) ) )
54baibd 877 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  X )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { x }  e.  J )
)
65ralbidva 2727 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
73, 6syl5bb 250 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X
)  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
87pm5.32i 620 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X
) )  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
92, 8bitri 242 1  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711    C_ wss 3306   {csn 3838   U.cuni 4039   ` cfv 5483   Topctop 16989   limPtclp 17229  Perfcperf 17230
This theorem is referenced by:  perfi  17250  perfopn  17280  t1conperf  17530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-top 16994  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-lp 17231  df-perf 17232
  Copyright terms: Public domain W3C validator