MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperf3 Unicode version

Theorem isperf3 16884
Description: A perfect space is a topology which has no open singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isperf3  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem isperf3
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21isperf2 16883 . 2  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\  X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X ) ) )
3 dfss3 3170 . . . 4  |-  ( X 
C_  ( ( limPt `  J ) `  X
)  <->  A. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X ) )
41maxlp 16878 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  X )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  {
x }  e.  J
) ) )
54baibd 875 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  X )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { x }  e.  J )
)
65ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
73, 6syl5bb 248 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X
)  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
87pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  ( ( limPt `  J ) `  X
) )  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
92, 8bitri 240 1  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   limPtclp 16866  Perfcperf 16867
This theorem is referenced by:  perfi  16886  perfopn  16915  t1conperf  17162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-lp 16868  df-perf 16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator