MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isph Unicode version

Theorem isph 21834
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isph.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
isph.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
isph.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
isph  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, M, y    x, N, y    x, U, y   
x, X, y

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 21826 . 2  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 isph.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 isph.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
52, 3, 4nvop 21677 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U ) >. ,  N >. )
6 eleq1 2426 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  <. <. G ,  ( .s
OLD `  U ) >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD ) )
7 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  e. 
_V
82, 7eqeltri 2436 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9 fvex 5646 . . . . . . 7  |-  ( .s
OLD `  U )  e.  _V
10 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  e.  _V
114, 10eqeltri 2436 . . . . . . 7  |-  N  e. 
_V
12 isph.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
1312, 2bafval 21594 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
1413isphg 21829 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( .s OLD `  U
)  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
158, 9, 11, 14mp3an 1278 . . . . . 6  |-  ( <. <. G ,  ( .s
OLD `  U ) >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  M  =  ( -v `  U
)
1712, 2, 3, 16nvmval 21634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  =  ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) )
18173expa 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x M y )  =  ( x G (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) )
1918fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( N `  ( x M y ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1
( .s OLD `  U
) y ) ) ) )
2019oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) ) ^ 2 ) )
2120oveq2d 5997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2221eqeq1d 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2322ralbidva 2644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2423ralbidva 2644 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
2524pm5.32i 618 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
26 eleq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  NrmCVec  <->  <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
2825, 27syl5rbb 249 . . . . . 6  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2915, 28syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
306, 29bitrd 244 . . . 4  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
315, 30syl 15 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
3231bianabs 850 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
331, 32biadan2 623 1  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873   <.cop 3732   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889   -ucneg 9185   2c2 9942   ^cexp 11269   NrmCVeccnv 21574   +vcpv 21575   BaseSetcba 21576   .s
OLDcns 21577   -vcnsb 21579   normCVcnmcv 21580   CPreHil OLDccphlo 21824
This theorem is referenced by:  phpar2  21835  sspph  21867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-sub 9186  df-neg 9187  df-grpo 21290  df-gid 21291  df-ginv 21292  df-gdiv 21293  df-ablo 21381  df-vc 21536  df-nv 21582  df-va 21585  df-ba 21586  df-sm 21587  df-0v 21588  df-vs 21589  df-nmcv 21590  df-ph 21825
  Copyright terms: Public domain W3C validator