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Theorem isph 22354
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isph.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
isph.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
isph.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
isph  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, M, y    x, N, y    x, U, y   
x, X, y

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 22346 . 2  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 isph.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 isph.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
52, 3, 4nvop 22197 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U ) >. ,  N >. )
6 eleq1 2502 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  <. <. G ,  ( .s
OLD `  U ) >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD ) )
7 fvex 5771 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  e. 
_V
82, 7eqeltri 2512 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9 fvex 5771 . . . . . . 7  |-  ( .s
OLD `  U )  e.  _V
10 fvex 5771 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  e.  _V
114, 10eqeltri 2512 . . . . . . 7  |-  N  e. 
_V
12 isph.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
1312, 2bafval 22114 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
1413isphg 22349 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( .s OLD `  U
)  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
158, 9, 11, 14mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( <. <. G ,  ( .s
OLD `  U ) >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  M  =  ( -v `  U
)
1712, 2, 3, 16nvmval 22154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  =  ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) )
18173expa 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x M y )  =  ( x G (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) )
1918fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( N `  ( x M y ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1
( .s OLD `  U
) y ) ) ) )
2019oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) ) ^ 2 ) )
2120oveq2d 6126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2221eqeq1d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2322ralbidva 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2423ralbidva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
2524pm5.32i 620 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
26 eleq1 2502 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  NrmCVec  <->  <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec ) )
2726anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
2825, 27syl5rbb 251 . . . . . 6  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2915, 28syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
306, 29bitrd 246 . . . 4  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
315, 30syl 16 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
3231bianabs 852 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
331, 32biadan2 625 1  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962   <.cop 3841   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026   -ucneg 9323   2c2 10080   ^cexp 11413   NrmCVeccnv 22094   +vcpv 22095   BaseSetcba 22096   .s
OLDcns 22097   -vcnsb 22099   normCVcnmcv 22100   CPreHil OLDccphlo 22344
This theorem is referenced by:  phpar2  22355  sspph  22387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-ltxr 9156  df-sub 9324  df-neg 9325  df-grpo 21810  df-gid 21811  df-ginv 21812  df-gdiv 21813  df-ablo 21901  df-vc 22056  df-nv 22102  df-va 22105  df-ba 22106  df-sm 22107  df-0v 22108  df-vs 22109  df-nmcv 22110  df-ph 22345
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