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Theorem isphg 21411
Description: The predicate "is a complex inner product space." An inner product space is a normed vector space whose norm satisfies the parallelogram law. The vector (group) addition operation is  G, the scalar product is  S, and the norm is  N. An inner product space is also called a pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isphg.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isphg  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, N, y    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem isphg
Dummy variables  g  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ph 21407 . . 3  |-  CPreHil OLD  =  ( NrmCVec  i^i  { <. <. g ,  s >. ,  n >.  |  A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  (
x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `
 x ) ^
2 )  +  ( ( n `  y
) ^ 2 ) ) ) } )
21elin2 3372 . 2  |-  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <.
g ,  s >. ,  n >.  |  A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) } ) )
3 rneq 4920 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  ran  G )
4 isphg.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
53, 4syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  X )
6 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
76fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g y ) )  =  ( n `  ( x G y ) ) )
87oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g y ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 ) )
9 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( -u
1 s y ) )  =  ( x G ( -u 1
s y ) ) )
109fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g ( -u 1
s y ) ) )  =  ( n `
 ( x G ( -u 1 s y ) ) ) )
1110oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )
128, 11oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ( n `
 ( x g y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x g ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
145, 13raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
155, 14raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( -u 1 s y )  =  ( -u 1 S y ) )
1716oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
x G ( -u
1 s y ) )  =  ( x G ( -u 1 S y ) ) )
1817fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) )  =  ( n `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1918oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( n `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2120eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
22212ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
23 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G y ) )  =  ( N `  ( x G y ) ) )
2423oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 ) )
25 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
2625oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 26oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
28 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  x )  =  ( N `  x ) )
2928oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  x
) ^ 2 )  =  ( ( N `
 x ) ^
2 ) )
30 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  y )  =  ( N `  y ) )
3130oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  y
) ^ 2 )  =  ( ( N `
 y ) ^
2 ) )
3229, 31oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )
3427, 33eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
35342ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
3615, 22, 35eloprabg 5951 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  | 
A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) )
3736anbi2d 684 . 2  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  | 
A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) } )  <->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
382, 37syl5bb 248 1  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   {coprab 5875   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   -ucneg 9054   2c2 9811   ^cexp 11120   NrmCVeccnv 21156   CPreHil OLDccphlo 21406
This theorem is referenced by:  cncph  21413  isph  21416  phpar  21418  hhph  21773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-ph 21407
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