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Theorem isphg 21395
Description: The predicate "is a complex inner product space." An inner product space is a normed vector space whose norm satisfies the parallelogram law. The vector (group) addition operation is  G, the scalar product is  S, and the norm is  N. An inner product space is also called a pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isphg.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isphg  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, N, y    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem isphg
Dummy variables  g  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ph 21391 . . 3  |-  CPreHil OLD  =  ( NrmCVec  i^i  { <. <. g ,  s >. ,  n >.  |  A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  (
x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `
 x ) ^
2 )  +  ( ( n `  y
) ^ 2 ) ) ) } )
21elin2 3359 . 2  |-  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <.
g ,  s >. ,  n >.  |  A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) } ) )
3 rneq 4904 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  ran  G )
4 isphg.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
53, 4syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  X )
6 oveq 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
76fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g y ) )  =  ( n `  ( x G y ) ) )
87oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g y ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 ) )
9 oveq 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( -u
1 s y ) )  =  ( x G ( -u 1
s y ) ) )
109fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
n `  ( x
g ( -u 1
s y ) ) )  =  ( n `
 ( x G ( -u 1 s y ) ) ) )
1110oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( n `  (
x g ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )
128, 11oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ( n `
 ( x g y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x g ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
145, 13raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
155, 14raleqbidv 2748 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 oveq 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( -u 1 s y )  =  ( -u 1 S y ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
x G ( -u
1 s y ) )  =  ( x G ( -u 1 S y ) ) )
1817fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) )  =  ( n `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1918oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( n `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x G ( -u 1
s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2120eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
22212ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 s y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
23 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G y ) )  =  ( N `  ( x G y ) ) )
2423oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 ) )
25 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
2625oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 26oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
28 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  x )  =  ( N `  x ) )
2928oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  x
) ^ 2 )  =  ( ( N `
 x ) ^
2 ) )
30 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
n `  y )  =  ( N `  y ) )
3130oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( n `  y
) ^ 2 )  =  ( ( N `
 y ) ^
2 ) )
3229, 31oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )
3427, 33eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
35342ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( n `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( n `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n `  x
) ^ 2 )  +  ( ( n `
 y ) ^
2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
3615, 22, 35eloprabg 5935 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  | 
A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) )
3736anbi2d 684 . 2  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  { <. <. g ,  s
>. ,  n >.  | 
A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( ( n `  ( x g y ) ) ^ 2 )  +  ( ( n `  ( x g (
-u 1 s y ) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( n `  x ) ^ 2 )  +  ( ( n `  y ) ^ 2 ) ) ) } )  <->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
382, 37syl5bb 248 1  |-  ( ( G  e.  A  /\  S  e.  B  /\  N  e.  C )  ->  ( <. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  S >. ,  N >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   {coprab 5859   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   -ucneg 9038   2c2 9795   ^cexp 11104   NrmCVeccnv 21140   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem is referenced by:  cncph  21397  isph  21400  phpar  21402  hhph  21757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-ph 21391
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