Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphl Structured version   Unicode version

Theorem isphl 16864
 Description: The predicate "is a generalized pre-Hilbert (inner product) space". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphl.v
isphl.f Scalar
isphl.h
isphl.o
isphl.i
isphl.z
Assertion
Ref Expression
isphl LMHom ringLMod
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem isphl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5745 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 fvex 5745 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 fvex 5745 . . . . . . 7 Scalar
65a1i 11 . . . . . 6 Scalar
7 id 21 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
8 simpll 732 . . . . . . . . . . 11
98fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
10 isphl.f . . . . . . . . . 10 Scalar
119, 10syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9 Scalar
127, 11sylan9eqr 2492 . . . . . . . 8 Scalar
1312eleq1d 2504 . . . . . . 7 Scalar
14 simpllr 737 . . . . . . . . 9 Scalar
15 simplll 736 . . . . . . . . . . 11 Scalar
1615fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10 Scalar
17 isphl.v . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9 Scalar
1914, 18eqtrd 2470 . . . . . . . 8 Scalar
20 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2115fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
22 isphl.h . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2420, 23eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2524oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11 Scalar
2619, 25mpteq12dv 4290 . . . . . . . . . 10 Scalar
2712fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11 Scalar ringLMod ringLMod
2815, 27oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
2926, 28eleq12d 2506 . . . . . . . . 9 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
3024oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3112fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
32 isphl.z . . . . . . . . . . . 12
3331, 32syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3430, 33eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10 Scalar
3515fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
36 isphl.o . . . . . . . . . . . 12
3735, 36syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3837eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10 Scalar
3934, 38imbi12d 313 . . . . . . . . 9 Scalar
4012fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
41 isphl.i . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4324oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4442, 43fveq12d 5737 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4544, 25eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10 Scalar
4619, 45raleqbidv 2918 . . . . . . . . 9 Scalar
4729, 39, 463anbi123d 1255 . . . . . . . 8 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
4819, 47raleqbidv 2918 . . . . . . 7 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
4913, 48anbi12d 693 . . . . . 6 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
506, 49sbcied 3199 . . . . 5 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
514, 50sbcied 3199 . . . 4 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
522, 51sbcied 3199 . . 3 Scalar LMHom ringLMod LMHom ringLMod
53 df-phl 16862 . . 3 Scalar LMHom ringLMod
5452, 53elrab2 3096 . 2 LMHom ringLMod
55 3anass 941 . 2 LMHom ringLMod LMHom ringLMod
5654, 55bitr4i 245 1 LMHom ringLMod
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  wsbc 3163   cmpt 4269  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  cstv 13536  Scalarcsca 13537  cip 13539  c0g 13728  csr 15937   LMHom clmhm 16100  clvec 16179  ringLModcrglmod 16246  cphl 16860 This theorem is referenced by:  phllvec  16865  phlsrng  16867  phllmhm  16868  ipcj  16870  ipeq0  16874  isphld  16890  phlpropd  16891 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4341 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-iota 5421  df-fv 5465  df-ov 6087  df-phl 16862
 Copyright terms: Public domain W3C validator