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Theorem isphld 16574
Description: Properties that determine a pre-Hilbert (inner product) space. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphld.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
isphld.a  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
isphld.s  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  W ) )
isphld.i  |-  ( ph  ->  I  =  ( .i
`  W ) )
isphld.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  W ) )
isphld.f  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  W ) )
isphld.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  F ) )
isphld.p  |-  ( ph  -> 
.+^  =  ( +g  `  F ) )
isphld.t  |-  ( ph  ->  .X.  =  ( .r
`  F ) )
isphld.c  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  F ) )
isphld.o  |-  ( ph  ->  O  =  ( 0g
`  F ) )
isphld.l  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
isphld.r  |-  ( ph  ->  F  e.  *Ring )
isphld.cl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x I y )  e.  K )
isphld.d  |-  ( (
ph  /\  q  e.  K  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( q 
.x.  x )  .+  y ) I z )  =  ( ( q  .X.  ( x I z ) ) 
.+^  ( y I z ) ) )
isphld.ns  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( x I x )  =  O )  ->  x  =  .0.  )
isphld.cj  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  (  .*  `  ( x I y ) )  =  ( y I x ) )
Assertion
Ref Expression
isphld  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
Distinct variable groups:    x, q,
y, z, ph    W, q, x, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z, q)    .+^ ( x, y, z, q)    .x. ( x, y, z, q)    .X. ( x, y, z, q)    F( x, y, z, q)    I( x, y, z, q)    .* ( x, y, z, q)    K( x, y, z, q)    O( x, y, z, q)    V( x, y, z, q)    .0. ( x, y, z, q)

Proof of Theorem isphld
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphld.l . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 isphld.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  W ) )
3 isphld.r . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  *Ring )
42, 3eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  W )  e.  *Ring )
5 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
y ( .i `  W ) x )  =  ( w ( .i `  W ) x ) )
65cbvmptv 4127 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  W
)  |->  ( y ( .i `  W ) x ) )  =  ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) x ) )
7 isphld.cl . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x I y )  e.  K )
873expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
x I y )  e.  K ) )
9 isphld.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  W ) )
109eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  <->  x  e.  ( Base `  W
) ) )
119eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  <->  y  e.  ( Base `  W
) ) )
1210, 11anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  <->  ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
) ) )
13 isphld.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  =  ( .i
`  W ) )
1413oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x I y )  =  ( x ( .i `  W
) y ) )
15 isphld.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  F ) )
162fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Base `  F
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1715, 16eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1814, 17eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x I y )  e.  K  <->  ( x ( .i `  W ) y )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
198, 12, 183imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .i `  W
) y )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
2019impl 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2120an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
22 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( .i `  W ) y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
2322cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
2421, 23fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) y ) ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2524ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  W )
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) y ) ) : (
Base `  W ) --> ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
26 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( .i `  W ) y )  =  ( w ( .i `  W ) z ) )
2726mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) y ) )  =  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) )
2827feq1d 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) y ) ) : (
Base `  W ) --> ( Base `  (Scalar `  W
) )  <->  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
2928rspccva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  (
Base `  W )
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) y ) ) : (
Base `  W ) --> ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3025, 29sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
31 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  (Scalar `  W
)  =  (Scalar `  W ) )
32 isphld.d . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  q  e.  K  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( q 
.x.  x )  .+  y ) I z )  =  ( ( q  .X.  ( x I z ) ) 
.+^  ( y I z ) ) )
33323exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( q  e.  K  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( ( q  .x.  x )  .+  y
) I z )  =  ( ( q 
.X.  ( x I z ) )  .+^  ( y I z ) ) ) ) )
3417eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( q  e.  K  <->  q  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) ) )
35 3anrot 939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  V  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V )  <->  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)
369eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( z  e.  V  <->  z  e.  ( Base `  W
) ) )
3736, 10, 113anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V )  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) ) )
3835, 37syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  <->  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) ) )
39 isphld.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  W ) )
40 isphld.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  W ) )
4140oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( q  .x.  x
)  =  ( q ( .s `  W
) x ) )
42 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  y  =  y )
4339, 41, 42oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( q  .x.  x )  .+  y
)  =  ( ( q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W
) y ) )
44 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  z  =  z )
4513, 43, 44oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( q 
.x.  x )  .+  y ) I z )  =  ( ( ( q ( .s
`  W ) x ) ( +g  `  W
) y ) ( .i `  W ) z ) )
46 isphld.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
.+^  =  ( +g  `  F ) )
472fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( +g  `  F
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
) )
4846, 47eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
.+^  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
) )
49 isphld.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  .X.  =  ( .r
`  F ) )
502fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( .r `  F
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
) )
5149, 50eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .X.  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
) )
52 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  q  =  q )
5313oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x I z )  =  ( x ( .i `  W
) z ) )
5451, 52, 53oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( q  .X.  (
x I z ) )  =  ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i `  W ) z ) ) )
5513oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( y I z )  =  ( y ( .i `  W
) z ) )
5648, 54, 55oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( q  .X.  ( x I z ) )  .+^  ( y I z ) )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i `  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( y ( .i `  W ) z ) ) )
5745, 56eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( q  .x.  x ) 
.+  y ) I z )  =  ( ( q  .X.  (
x I z ) )  .+^  ( y
I z ) )  <-> 
( ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i
`  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( y ( .i `  W ) z ) ) ) )
5838, 57imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( ( q  .x.  x )  .+  y
) I z )  =  ( ( q 
.X.  ( x I z ) )  .+^  ( y I z ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( q ( .s
`  W ) x ) ( +g  `  W
) y ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( q ( .r
`  (Scalar `  W )
) ( x ( .i `  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( y ( .i `  W ) z ) ) ) ) )
5933, 34, 583imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( q  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  ->  (
( z  e.  (
Base `  W )  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i
`  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( y ( .i `  W ) z ) ) ) ) )
6059imp31 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( q ( .s
`  W ) x ) ( +g  `  W
) y ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( q ( .r
`  (Scalar `  W )
) ( x ( .i `  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( y ( .i `  W ) z ) ) )
61603exp2 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  W )  ->  ( x  e.  (
Base `  W )  ->  ( y  e.  (
Base `  W )  ->  ( ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i
`  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( y ( .i `  W ) z ) ) ) ) ) )
6261impancom 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( q  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  W )  ->  ( y  e.  (
Base `  W )  ->  ( ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i
`  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( y ( .i `  W ) z ) ) ) ) ) )
63623imp2 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( q ( .s
`  W ) x ) ( +g  `  W
) y ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( q ( .r
`  (Scalar `  W )
) ( x ( .i `  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( y ( .i `  W ) z ) ) )
64 lveclmod 15875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
651, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  W  e.  LMod )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
68 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
69 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
7068, 69lss1 15712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Base `  W )  e.  (
LSubSp `  W ) )
7167, 70syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( Base `  W )  e.  (
LSubSp `  W ) )
72 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
73 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
74 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
75 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
7672, 73, 74, 75, 69lsscl 15716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Base `  W
)  e.  ( LSubSp `  W )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
7771, 76sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
78 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y )  ->  (
w ( .i `  W ) z )  =  ( ( ( q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W
) y ) ( .i `  W ) z ) )
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) )  =  ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) )
80 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w ( .i `  W
) z )  e. 
_V
8178, 79, 80fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q ( .s
`  W ) x ) ( +g  `  W
) y )  e.  ( Base `  W
)  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) )  =  ( ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) ( .i
`  W ) z ) )
8277, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) )  =  ( ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) ( .i
`  W ) z ) )
83 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  W )
)
84 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( .i `  W ) z )  =  ( x ( .i `  W ) z ) )
8584, 79, 80fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 x )  =  ( x ( .i
`  W ) z ) )
8683, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 x )  =  ( x ( .i
`  W ) z ) )
8786oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( q
( .r `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) ) `  x
) )  =  ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( x ( .i
`  W ) z ) ) )
88 simpr3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
89 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
w ( .i `  W ) z )  =  ( y ( .i `  W ) z ) )
9089, 79, 80fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( Base `  W
)  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 y )  =  ( y ( .i
`  W ) z ) )
9188, 90syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 y )  =  ( y ( .i
`  W ) z ) )
9287, 91oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  x ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) ) `  y
) )  =  ( ( q ( .r
`  (Scalar `  W )
) ( x ( .i `  W ) z ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( y ( .i `  W ) z ) ) )
9363, 82, 923eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  /\  (
q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) `
 ( ( q ( .s `  W
) x ) ( +g  `  W ) y ) )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) ) `  x
) ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  y ) ) )
9493ralrimivvva 2649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  A. q  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  ( ( q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W ) y ) )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  x ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) ) `  y
) ) )
9572lmodrng 15651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
96 rlmlmod 15973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
(ringLMod `  (Scalar `  W
) )  e.  LMod )
9765, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  (Scalar `  W
) )  e.  LMod )
9897adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  (ringLMod `  (Scalar `  W ) )  e. 
LMod )
99 rlmbas 15964 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) )
100 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
101 rlmsca 15968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Scalar `  W )  e.  _V  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) ) )
102100, 101ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) )
103 rlmplusg 15965 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) )
104 rlmvsca 15970 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .s
`  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) )
10568, 99, 72, 102, 73, 74, 103, 75, 104islmhm2 15811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (ringLMod `  (Scalar `  W )
)  e.  LMod )  ->  ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )  /\  A. q  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  ( ( q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W ) y ) )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  x ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) ) `  y
) ) ) ) )
10666, 98, 105syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W )
) )  <->  ( (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )  /\  A. q  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  ( ( q ( .s `  W ) x ) ( +g  `  W ) y ) )  =  ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) ) `  x ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( ( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) ) `  y
) ) ) ) )
10730, 31, 94, 106mpbir3and 1135 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) z ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) ) )
108107ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  (
Base `  W )
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) ) )
109 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
w ( .i `  W ) z )  =  ( w ( .i `  W ) x ) )
110109mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  ( Base `  W )  |->  ( w ( .i `  W
) z ) )  =  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) x ) ) )
111110eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) )  <->  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
112111rspccva 2896 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  (
Base `  W )
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) z ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) )  /\  x  e.  ( Base `  W ) )  -> 
( w  e.  (
Base `  W )  |->  ( w ( .i
`  W ) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W
) ) ) )
113108, 112sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( w  e.  ( Base `  W
)  |->  ( w ( .i `  W ) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) ) )
1146, 113syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  W
)  |->  ( y ( .i `  W ) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) ) )
115 isphld.ns . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( x I x )  =  O )  ->  x  =  .0.  )
1161153exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( ( x I x )  =  O  ->  x  =  .0.  ) ) )
11713oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x I x )  =  ( x ( .i `  W
) x ) )
118 isphld.o . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O  =  ( 0g
`  F ) )
1192fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  F
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
120118, 119eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
121117, 120eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x I x )  =  O  <-> 
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
122 isphld.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  W ) )
123122eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  =  .0.  <->  x  =  ( 0g `  W ) ) )
124121, 123imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x I x )  =  O  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( x ( .i `  W
) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  x  =  ( 0g `  W ) ) ) )
125116, 10, 1243imtr3d 258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  W )  ->  ( ( x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  x  =  ( 0g `  W ) ) ) )
126125imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  x  =  ( 0g `  W ) ) )
127 isphld.cj . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  (  .*  `  ( x I y ) )  =  ( y I x ) )
1281273expib 1154 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (  .*  `  ( x I y ) )  =  ( y I x ) ) )
129 isphld.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  F ) )
1302fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * r `  F )  =  ( * r `  (Scalar `  W ) ) )
131129, 130eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  (Scalar `  W ) ) )
132131, 14fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x I y ) )  =  ( ( * r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) ) )
13313oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y I x )  =  ( y ( .i `  W
) x ) )
134132, 133eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x I y ) )  =  ( y I x )  <-> 
( ( * r `
 (Scalar `  W
) ) `  (
x ( .i `  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W
) x ) ) )
135128, 12, 1343imtr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
* r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W ) x ) ) )
136135expdimp 426 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  W
)  ->  ( (
* r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W ) x ) ) )
137136ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  W )
)  ->  A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( * r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W ) x ) )
138114, 126, 1373jca 1132 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  W )  |->  ( y ( .i `  W
) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W )
) )  /\  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  ->  x  =  ( 0g `  W ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( * r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W ) x ) ) )
139138ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  W )
( ( y  e.  ( Base `  W
)  |->  ( y ( .i `  W ) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( ( x ( .i `  W
) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  x  =  ( 0g `  W ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  W ) ( ( * r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W ) x ) ) )
140 eqid 2296 . . 3  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
141 eqid 2296 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
142 eqid 2296 . . 3  |-  ( * r `  (Scalar `  W ) )  =  ( * r `  (Scalar `  W ) )
143 eqid 2296 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
14468, 72, 140, 141, 142, 143isphl 16548 . 2  |-  ( W  e.  PreHil 
<->  ( W  e.  LVec  /\  (Scalar `  W )  e.  *Ring  /\  A. x  e.  ( Base `  W
) ( ( y  e.  ( Base `  W
)  |->  ( y ( .i `  W ) x ) )  e.  ( W LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  W ) ) )  /\  ( ( x ( .i `  W
) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  x  =  ( 0g `  W ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  W ) ( ( * r `  (Scalar `  W ) ) `  ( x ( .i
`  W ) y ) )  =  ( y ( .i `  W ) x ) ) ) )
1451, 4, 139, 144syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   * rcstv 13226  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   .icip 13229   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   *Ringcsr 15625   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LMHom clmhm 15792   LVecclvec 15871  ringLModcrglmod 15938   PreHilcphl 16544
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  32774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-phl 16546
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