Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphld Structured version   Unicode version

Theorem isphld 16877
 Description: Properties that determine a pre-Hilbert (inner product) space. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphld.v
isphld.a
isphld.s
isphld.i
isphld.z
isphld.f Scalar
isphld.k
isphld.p
isphld.t
isphld.c
isphld.o
isphld.l
isphld.r
isphld.cl
isphld.d
isphld.ns
isphld.cj
Assertion
Ref Expression
isphld
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem isphld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphld.l . 2
2 isphld.f . . 3 Scalar
3 isphld.r . . 3
42, 3eqeltrrd 2510 . 2 Scalar
5 oveq1 6080 . . . . . 6
65cbvmptv 4292 . . . . 5
7 isphld.cl . . . . . . . . . . . . . . 15
873expib 1156 . . . . . . . . . . . . . 14
9 isphld.v . . . . . . . . . . . . . . . 16
109eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15
119eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14
13 isphld.i . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 isphld.k . . . . . . . . . . . . . . . 16
162fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
1715, 16eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
1814, 17eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
198, 12, 183imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
2019impl 604 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2120an32s 780 . . . . . . . . . . 11 Scalar
22 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12
2322cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11
2421, 23fmptd 5885 . . . . . . . . . 10 Scalar
2524ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9 Scalar
26 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
2726mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . 11
2827feq1d 5572 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2928rspccva 3043 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3025, 29sylan 458 . . . . . . . 8 Scalar
31 eqidd 2436 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
32 isphld.d . . . . . . . . . . . . . . . 16
33323exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15
3417eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
35 3anrot 941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
369eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736, 10, 113anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3835, 37syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 isphld.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 isphld.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4339, 41, 42oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4513, 43, 44oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 isphld.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
472fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar
4846, 47eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
49 isphld.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
502fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Scalar
5149, 50eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar
52 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5313oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5451, 52, 53oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
5513oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5648, 54, 55oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
5745, 56eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
5838, 57imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
5933, 34, 583imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
6059imp31 422 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar Scalar
61603exp2 1171 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar Scalar
6261impancom 428 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
63623imp2 1168 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar
64 lveclmod 16170 . . . . . . . . . . . . . . . 16
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
68 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14
69 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69lss1 16007 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
72 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
73 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
74 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
75 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
7672, 73, 74, 75, 69lsscl 16011 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
7771, 76sylancom 649 . . . . . . . . . . 11 Scalar
78 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12
79 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
80 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12
8178, 79, 80fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . . 11
8277, 81syl 16 . . . . . . . . . 10 Scalar
83 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
84 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 79, 80fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
8786oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar Scalar
88 simpr3 965 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
89 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13
9089, 79, 80fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11 Scalar
9287, 91oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
9363, 82, 923eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
9493ralrimivvva 2791 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
9572lmodrng 15950 . . . . . . . . . . 11 Scalar
96 rlmlmod 16268 . . . . . . . . . . 11 Scalar ringLModScalar
9765, 95, 963syl 19 . . . . . . . . . 10 ringLModScalar
9897adantr 452 . . . . . . . . 9 ringLModScalar
99 rlmbas 16259 . . . . . . . . . 10 Scalar ringLModScalar
100 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11 Scalar
101 rlmsca 16263 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar ScalarringLModScalar
102100, 101ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 Scalar ScalarringLModScalar
103 rlmplusg 16260 . . . . . . . . . 10 Scalar ringLModScalar
104 rlmvsca 16265 . . . . . . . . . 10 Scalar ringLModScalar
10568, 99, 72, 102, 73, 74, 103, 75, 104islmhm2 16106 . . . . . . . . 9 ringLModScalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
10666, 98, 105syl2anc 643 . . . . . . . 8 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
10730, 31, 94, 106mpbir3and 1137 . . . . . . 7 LMHom ringLModScalar
108107ralrimiva 2781 . . . . . 6 LMHom ringLModScalar
109 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
110109mpteq2dv 4288 . . . . . . . 8
111110eleq1d 2501 . . . . . . 7 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
112111rspccva 3043 . . . . . 6 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
113108, 112sylan 458 . . . . 5 LMHom ringLModScalar
1146, 113syl5eqel 2519 . . . 4 LMHom ringLModScalar
115 isphld.ns . . . . . . 7
1161153exp 1152 . . . . . 6
11713oveqd 6090 . . . . . . . 8
118 isphld.o . . . . . . . . 9
1192fveq2d 5724 . . . . . . . . 9 Scalar
120118, 119eqtrd 2467 . . . . . . . 8 Scalar
121117, 120eqeq12d 2449 . . . . . . 7 Scalar
122 isphld.z . . . . . . . 8
123122eqeq2d 2446 . . . . . . 7
124121, 123imbi12d 312 . . . . . 6 Scalar
125116, 10, 1243imtr3d 259 . . . . 5 Scalar
126125imp 419 . . . 4 Scalar
127 isphld.cj . . . . . . . 8
1281273expib 1156 . . . . . . 7
129 isphld.c . . . . . . . . . 10
1302fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 Scalar
131129, 130eqtrd 2467 . . . . . . . . 9 Scalar
132131, 14fveq12d 5726 . . . . . . . 8 Scalar
13313oveqd 6090 . . . . . . . 8
134132, 133eqeq12d 2449 . . . . . . 7 Scalar
135128, 12, 1343imtr3d 259 . . . . . 6 Scalar
136135expdimp 427 . . . . 5 Scalar
137136ralrimiv 2780 . . . 4 Scalar
138114, 126, 1373jca 1134 . . 3 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
139138ralrimiva 2781 . 2 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
140 eqid 2435 . . 3
141 eqid 2435 . . 3
142 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
143 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
14468, 72, 140, 141, 142, 143isphl 16851 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
1451, 4, 139, 144syl3anbrc 1138 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  cstv 13523  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  cip 13526  c0g 13715  crg 15652  csr 15924  clmod 15942  clss 16000   LMHom clmhm 16087  clvec 16166  ringLModcrglmod 16233  cphl 16847 This theorem is referenced by:  hlhilphllem  32697 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849
 Copyright terms: Public domain W3C validator