Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isphtpy Structured version   Unicode version

Theorem isphtpy 19006
 Description: Membership in the class of path homotopies between two continuous functions. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2
isphtpy.3
Assertion
Ref Expression
isphtpy Htpy
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem isphtpy
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.2 . . . . 5
2 cntop2 17305 . . . . 5
3 oveq2 6089 . . . . . . 7
4 oveq2 6089 . . . . . . . . 9 Htpy Htpy
54oveqd 6098 . . . . . . . 8 Htpy Htpy
6 rabeq 2950 . . . . . . . 8 Htpy Htpy Htpy Htpy
75, 6syl 16 . . . . . . 7 Htpy Htpy
83, 3, 7mpt2eq123dv 6136 . . . . . 6 Htpy Htpy
9 df-phtpy 18996 . . . . . 6 Htpy
10 ovex 6106 . . . . . . 7
1110, 10mpt2ex 6425 . . . . . 6 Htpy
128, 9, 11fvmpt 5806 . . . . 5 Htpy
131, 2, 123syl 19 . . . 4 Htpy
14 oveq12 6090 . . . . . 6 Htpy Htpy
15 simpl 444 . . . . . . . . . 10
1615fveq1d 5730 . . . . . . . . 9
1716eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
1815fveq1d 5730 . . . . . . . . 9
1918eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
2017, 19anbi12d 692 . . . . . . 7
2120ralbidv 2725 . . . . . 6
2214, 21rabeqbidv 2951 . . . . 5 Htpy Htpy
2322adantl 453 . . . 4 Htpy Htpy
24 isphtpy.3 . . . 4
25 ovex 6106 . . . . . 6 Htpy
2625rabex 4354 . . . . 5 Htpy
2726a1i 11 . . . 4 Htpy
2813, 23, 1, 24, 27ovmpt2d 6201 . . 3 Htpy
2928eleq2d 2503 . 2 Htpy
30 oveq 6087 . . . . . 6
3130eqeq1d 2444 . . . . 5
32 oveq 6087 . . . . . 6
3332eqeq1d 2444 . . . . 5
3431, 33anbi12d 692 . . . 4
3534ralbidv 2725 . . 3
3635elrab 3092 . 2 Htpy Htpy
3729, 36syl6bb 253 1 Htpy
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  crab 2709  cvv 2956  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cc0 8990  c1 8991  cicc 10919  ctop 16958   ccn 17288  cii 18905   Htpy chtpy 18992  cphtpy 18993 This theorem is referenced by:  phtpyhtpy  19007  phtpyi  19009  isphtpyd  19011 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-top 16963  df-topon 16966  df-cn 17291  df-phtpy 18996
 Copyright terms: Public domain W3C validator