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Theorem isplig 20844
Description: The predicate "is a planar incidence geometry". (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
isplig.1  |-  P  = 
U. L
Assertion
Ref Expression
isplig  |-  ( L  e.  A  ->  ( L  e.  Plig  <->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  (
a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) ) )
Distinct variable groups:    L, a,
b, c, l    P, a, b, c
Allowed substitution hints:    A( a, b, c, l)    P( l)

Proof of Theorem isplig
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3836 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  U. x  =  U. L )
2 isplig.1 . . . . 5  |-  P  = 
U. L
31, 2syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  U. x  =  P )
4 reueq1 2738 . . . . . 6  |-  ( x  =  L  ->  ( E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l )  <->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) )
54imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  (
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  <->  ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) ) )
63, 5raleqbidv 2748 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  ( A. b  e.  U. x
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  <->  A. b  e.  P  ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) ) )
73, 6raleqbidv 2748 . . 3  |-  ( x  =  L  ->  ( A. a  e.  U. x A. b  e.  U. x
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  <->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) ) )
83rexeqdv 2743 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  ( E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  <->  E. b  e.  P  ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
) ) )
93, 8rexeqbidv 2749 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  ( E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
) ) )
109raleqbi1dv 2744 . . 3  |-  ( x  =  L  ->  ( A. l  e.  x  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  <->  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
) ) )
11 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( x  =  L  ->  ( A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
123, 11rexeqbidv 2749 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  ( E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
133, 12rexeqbidv 2749 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  ( E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
143, 13rexeqbidv 2749 . . 3  |-  ( x  =  L  ->  ( E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
157, 10, 143anbi123d 1252 . 2  |-  ( x  =  L  ->  (
( A. a  e. 
U. x A. b  e.  U. x ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  (
a  e.  l  /\  b  e.  l )
)  /\  A. l  e.  x  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) )  <->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  (
a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) ) )
16 df-plig 20843 . 2  |-  Plig  =  { x  |  ( A. a  e.  U. x A. b  e.  U. x
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  x  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  /\  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  (
a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )
) }
1715, 16elab2g 2916 1  |-  ( L  e.  A  ->  ( L  e.  Plig  <->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  (
a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   U.cuni 3827   Pligcplig 20842
This theorem is referenced by:  tncp  20845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-v 2790  df-uni 3828  df-plig 20843
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