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Theorem isplig 21765
Description: The predicate "is a planar incidence geometry". (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
isplig.1  |-  P  = 
U. L
Assertion
Ref Expression
isplig  |-  ( L  e.  A  ->  ( L  e.  Plig  <->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  (
a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) ) )
Distinct variable groups:    L, a,
b, c, l    P, a, b, c
Allowed substitution hints:    A( a, b, c, l)    P( l)

Proof of Theorem isplig
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4024 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  U. x  =  U. L )
2 isplig.1 . . . . 5  |-  P  = 
U. L
31, 2syl6eqr 2486 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  U. x  =  P )
4 reueq1 2906 . . . . . 6  |-  ( x  =  L  ->  ( E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l )  <->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) )
54imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  (
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  <->  ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) ) )
63, 5raleqbidv 2916 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  ( A. b  e.  U. x
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  <->  A. b  e.  P  ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) ) )
73, 6raleqbidv 2916 . . 3  |-  ( x  =  L  ->  ( A. a  e.  U. x A. b  e.  U. x
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  <->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) ) ) )
83rexeqdv 2911 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  ( E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  <->  E. b  e.  P  ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
) ) )
93, 8rexeqbidv 2917 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  ( E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
) ) )
109raleqbi1dv 2912 . . 3  |-  ( x  =  L  ->  ( A. l  e.  x  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  <->  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
) ) )
11 raleq 2904 . . . . . 6  |-  ( x  =  L  ->  ( A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
123, 11rexeqbidv 2917 . . . . 5  |-  ( x  =  L  ->  ( E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
133, 12rexeqbidv 2917 . . . 4  |-  ( x  =  L  ->  ( E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
143, 13rexeqbidv 2917 . . 3  |-  ( x  =  L  ->  ( E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) )
157, 10, 143anbi123d 1254 . 2  |-  ( x  =  L  ->  (
( A. a  e. 
U. x A. b  e.  U. x ( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  (
a  e.  l  /\  b  e.  l )
)  /\  A. l  e.  x  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x ( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) )  <->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  (
a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) ) )
16 df-plig 21764 . 2  |-  Plig  =  { x  |  ( A. a  e.  U. x A. b  e.  U. x
( a  =/=  b  ->  E! l  e.  x  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  x  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x
( a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l
)  /\  E. a  e.  U. x E. b  e.  U. x E. c  e.  U. x A. l  e.  x  -.  (
a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l )
) }
1715, 16elab2g 3084 1  |-  ( L  e.  A  ->  ( L  e.  Plig  <->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
a  =/=  b  ->  E! l  e.  L  ( a  e.  l  /\  b  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. a  e.  P  E. b  e.  P  (
a  =/=  b  /\  a  e.  l  /\  b  e.  l )  /\  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  A. l  e.  L  -.  ( a  e.  l  /\  b  e.  l  /\  c  e.  l ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   U.cuni 4015   Pligcplig 21763
This theorem is referenced by:  tncp  21766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-v 2958  df-uni 4016  df-plig 21764
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